隐函数知识点总结

对于 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0可以有一个函数关系： y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)则称 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0确定了一个隐函数。 也可写作 F ( x , f ( x ) ) = 0 F(x,f(x))=0 F(x,f(x))=0 就是说只要有函数关系就行，能不能具体写出表达式没有考虑。

隐函数存在定理（充分条件）：

那么F(x,y)=0确定了一个隐函数，且隐函数连续。 简单记为 F F F连续且等于0, F y F_y Fy​连续且不等于0. F y F_y Fy​是 F F F对于y的偏导数。

如果增加两个条件

那么隐函数就是唯一的

注意隐函数是在D上，D包含初始点

隐函数可微性定理：

则所确定的隐函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)有连续的导函数 f ′ ( x ) = − F x ( x , y ) F y ( x , y ) f'(x)=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)} f′(x)=−Fy​(x,y)Fx​(x,y)​ 当然也可以直接把 y y y看作x的函数，对 x x x进行求导，得到的 y ′ y' y′就是答案。 画关系图是这样的

所以 y ′ F y + F x = 0 y'F_y+F_x=0 y′Fy​+Fx​=0 第二种方法可能更加好，尤其是算二阶导的时候 更多元的时候也可以用这个方法，注意 x 1 , x 2 , . . . x n x_1,x_2,...x_n x1​,x2​,...xn​是相互独立的

注意： 1.真正在求的时候隐函数导数的时候： 说明F连续, F x , F y F_x,F_y Fx​,Fy​连续，存在一点等于F=0，且 F y F_y Fy​恒不等于0 然后对x求导就行，把y’表示出来 2.如果是F(x,y,z)确定的隐函数是z=f(x,y)则求导的时候先对x求导，再对y求导，导数有两个。并且y和x独立，就相当于常数。 3.最主要的是画关系图 4.对于二阶导，也可能是一阶导的式子求出来以后发现满足一个关系，那么对这个新式子求导 看一个比较烦的例子： u = x 2 + y 2 + z 2 ， z = f ( x , y ) u=x^2+y^2+z^2，z=f(x,y) u=x2+y2+z2，z=f(x,y)由 x 2 − x y + y 2 = 1 x^2-xy+y^2=1 x2−xy+y2=1确定 求 u x , u y u_x,u_y ux​,uy​ 那么第一个式子可以写成F(x,y,z,u)=0,z又是x,y的函数，关系如下

看那些路径到了x,那么对x求导就是 F x + F u u x + F z z x = 0 F_x+F_uu_x+F_zz_x=0 Fx​+Fu​ux​+Fz​zx​=0 然后解 u x u_x ux​就可以了，发现有个 z x z_x zx​，那么对后一个式子如法炮制算出来。F的函数式当然已知。 如果求 u x x u_xx ux​x那么直接对 u x u_x ux​求导