7 布朗运动

随机变量\(Z\)服从标准正态分布N(0,1)， 则密度函数为 \[ \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}, \ -\infty < x < \infty, \] \(\phi(x)\)是偶函数。 分布函数为\(\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \phi(u) \,du\)， 满足 \[ \Phi(-x) = 1 - \Phi(x) . \] 矩母函数为 \[ E (e^{t Z}) = e^{\frac{t^2}{2}} , \ -\infty < t < \infty . \] 特征函数为 \[ \psi(t) = E e^{i t Z} = e^{-\frac{1}{2} t^2}, \ -\infty < t < \infty . \] 各阶原点矩为 \[ E(Z^k) = \begin{cases} 0 , & k \text{为奇数}, \\ (k-1)!!, & k \text{为偶数} . \end{cases} \] 特别地，\(E Z^4 = 3\)。 \(E|Z| = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\)。

随机变量\(X \sim \text{N}(\mu, \sigma^2)\)， 则密度函数为 \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2}, \ -\infty < x < \infty , \] 分布函数为\(F(x) = \Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})\)。 矩母函数为 \[ E(e^{u X}) = \exp\{\mu t + \frac{1}{2} \sigma^2 t^2 \} , \ -\infty < t < \infty . \] 特征函数为 \[ \psi_X(t) = E e^{i t X} = \exp\left\{ i \mu t - \frac{1}{2} \sigma^2 t^2 \right\}, \ -\infty < t < \infty . \] \(\frac{X - \mu}{\sigma} \sim \text{N}(0,1)\)。

连续型随机向量\(\boldsymbol X = (X_1, \dots, X_n)^T\)称为（狭义的）多维正态分布随机向量， 如果其联合密度为 \[ f(\boldsymbol x) = (2\pi)^{-\frac{n}{2}} [\text{det}(\Sigma)]^{-\frac{1}{2}} \exp\left\{ -\frac{1}{2} (\boldsymbol x - \boldsymbol\mu)^T \Sigma^{-1} (\boldsymbol x - \boldsymbol\mu) \right\}, \ \boldsymbol x \in \mathbb R^n . \] 记此分布为\(\text{N}(\boldsymbol\mu, \Sigma)\)或\(\text{N}_n(\boldsymbol\mu, \Sigma)\)， 其中\(\boldsymbol\mu \in \mathbb R^n\)， \(\Sigma\)为\(n\)阶对称正定矩阵。

\(\boldsymbol X\)的特征函数为 \[\begin{align} \psi(\boldsymbol t) = \exp\left\{ i \boldsymbol\mu^T \boldsymbol t - \frac{1}{2} \boldsymbol t^T \Sigma \boldsymbol t \right\}, \boldsymbol t \in \mathbb R^n . \tag{7.1} \end{align}\]

定义7.1 (多维高斯分布) 称随机向量 \({\boldsymbol X} =(X_1,X_2,\cdots,X_n)^T\) 服从\(n\)维高斯分布(或多元正态分布，多维正态分布), 如果存在\({\boldsymbol\mu} \in \mathbb R^n\), \(n \times k\) 常数矩阵\(B\)和iid的标准正态随机变量\(Z_1, Z_2, \dots, Z_k\) 使得 \[ \boldsymbol X =\boldsymbol\mu + B \boldsymbol Z . \] 其中\(\boldsymbol Z = (Z_1, \dots, Z_k)^T\)。 这时 \[ E{\boldsymbol X} = \boldsymbol\mu, \quad \Sigma = \text{Var}({\boldsymbol X}) = B B^T. \] 记\(\boldsymbol X\)的分布为\(\text{N}_n(\boldsymbol\mu, \Sigma)\)。

这里我们不特别区分高斯分布和正态分布。 多维正态分布要求\(\Sigma\)正定， 而高斯分布仅要求\(\Sigma\)非负定。 对一维情形， 高斯分布允许方差等于零， 这就是退化分布（等于一个常数）。

定理7.1 \(n\)维高斯分布的特征函数为(7.1); 反之， 如果某个随机向量特征函数为(7.1) （其中\(\Sigma\)为对称非负定矩阵）， 则它服从高斯分布\(\text{N}_n(\boldsymbol\mu, \Sigma)\)。

对二元正态分布有 \[ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} \sim \text{N} \left( \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \rho \sigma_1 \sigma_2 \\ \rho \sigma_1 \sigma_2 & \sigma_2^2 \end{pmatrix} \right) . \] 条件分布为 \[\begin{aligned} Y | X=x \sim \text{N} \left( \mu_2 + \rho \frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x - \mu_1), \; (1 - \rho^2) \sigma_2^2 . \right) \end{aligned}\]

若 \[ \begin{pmatrix} \boldsymbol X \\ \boldsymbol Y \end{pmatrix} \sim \text{N} \left( \begin{pmatrix} \boldsymbol\mu_1 \\ \boldsymbol\mu_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{pmatrix} \right) , \] 且\(\Sigma_{11}\)正定（满秩）， 则\(\boldsymbol Y | \boldsymbol X = \boldsymbol x\)的条件分布为 \[ \text{N}\left( \boldsymbol\mu_2 + \Sigma_{21} \Sigma_{11}^{-1}(\boldsymbol x -\boldsymbol \mu_1), \ \Sigma_{22} - \Sigma_{21} \Sigma_{11}^{-1} \Sigma_{12} \right) . \]

定理7.2 \({\boldsymbol X}\sim \text{N}({\boldsymbol\mu}, \Sigma)\) 的充分必要条件是: 对任意\({\boldsymbol a} \in {\mathbb R}^n\), \[\begin{aligned} Y = {\boldsymbol a}^T \boldsymbol X \ \sim \text{N}({\boldsymbol a}^T {\boldsymbol\mu}, {\boldsymbol a}^T \Sigma {\boldsymbol a}). \end{aligned}\]

见(何书元 2003)节1.4定理4.1。 这里的一元正态分布是推广的\(\text{N}(\mu, \sigma^2)\)， 允许\(\sigma^2=0\)。

定理7.3 设\({\boldsymbol X}\sim \text{N}_n({\boldsymbol\mu}, \Sigma)\)， \(A\)为\(m \times n\)矩阵， 则\(\boldsymbol Y \sim \text{N}_m(A \boldsymbol\mu, A \Sigma A^T)\)。 即多元正态分布的线性组合仍为多元正态分布。

证明： \(\boldsymbol Y\)的特征函数为 \[\begin{aligned} E e^{i \boldsymbol t^T \boldsymbol Y} =& E e^{i \boldsymbol t^T A \boldsymbol X} = E e^{i (A^T \boldsymbol t)^T \boldsymbol X} \\ =& \exp\left\{ i (A^T \boldsymbol t)^T \boldsymbol\mu - \frac{1}{2} (A^T \boldsymbol t)^T \Sigma (A^T \boldsymbol t) \right\} \\ =& \exp\left\{ i \boldsymbol t^T (A \boldsymbol\mu) - \frac{1}{2} (\boldsymbol t)^T (A \Sigma A^T) \boldsymbol t \right\}, \end{aligned}\] 由特征函数与分布的一一对应关系可得定理结论。

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定理7.4 设\(\xi_n \sim \text{N}(\mu_n, \sigma_n^2)\), \(n \in \mathbb N\), 若\(\xi_n\)依分布收敛到随机变量\(\xi\), 则极限 \[ \lim \mu_n = \mu, \ \lim \sigma_n^2 = \sigma^2 \] 存在，且 \(\xi \sim \text{N}(\mu, \sigma^2)\).

证明参见王梓坤《随机过程论》P.18。

推论7.1 设正态\(\xi_n \sim \text{N}(\mu_n, \sigma_n^2)\), \(n \in \mathbb N\), 若\(\xi_n\)均方收敛到随机变量\(\xi\), 则极限 \[ \lim \mu_n = \mu, \ \lim \sigma_n^2 = \sigma^2 \] 存在，且 \(\xi \sim \text{N}(\mu, \sigma^2)\).

例7.1 边缘分布为一元正态分布不能推出联合分布为多元正态分布。 如\(Z_1, Z_2\)独立同标准正态分布， 令 \[ X = Z_1, \quad Y = |Z_2| \cdot \text{sgn}(Z_1), \] 则\(X, Y\)边缘分布都是正态分布但联合分布非多元正态分布， 因为\((X, Y)\)只在\(\mathbb R^2\)平面的第一、三象限上取值。

定义7.2 (高斯过程) 对随机过程\(\{X(t), t \geq 0 \}\)， 如果对任意正整数\(n\)和\(0 \leq t_1 < t_2 < \dots < t_n\)， \((X(t_1), X(t_2), \dots, X(t_n))\)都服从高斯分布， 则称\(\{X(t), t \geq 0 \}\)为高斯过程。

高斯过程的有限维分布完全由其均值函数和协方差函数决定。

设\(X_1, X_2, \dots\)是独立的随机变量， \[ P \{ X_i = 1 \} = P \{ X_i = -1 \} = \frac{1}{2}, \] 令\(S_n\)表示相应的对应随机游动 \[ S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n . \] 令\(S_0 = 0\)。 易见 \[\begin{aligned} E(X_i) =& 0, \quad \text{Var}(X_i) = 1, \\ E(S_n) =& 0, \quad \text{Var}(S_n) = n . \end{aligned}\] \(\{S_n, n=0,1,2,\dots \}\)是独立平稳增量过程。

令\({\mathscr F}_n = \sigma(X_1, \dots, X_n)\)是由\(\{ X_i, 1 \leq i \leq n \}\)生成的\(\sigma\)代数， 也可以理解为包含在\(X_1, \dots, X_n\)中的信息. \(S_n\)是鞅（所有增量均值为0的独立平稳增量过程都是鞅）： \[ E(S_{n+1} | \mathscr F_n) = E(S_n + X_{n+1} | \mathscr F_n) = S_n + E(X_{n+1}) = S_n, n \geq 0 . \]

递推可得 \[ E(S_n | \mathscr F_m) = S_m, \ \forall 0 \leq m < n . \]

考虑上述随机游动\(S_n\)的每一步实际代表了时间间隔\(\Delta t\)。 给定\(t > 0\)和正整数\(n\)， 当\(n t\)为正整数时定义可以定义随机过程\(\{X^{(n)}(t), t \geq 0 \}\)使得 \[ X(t) = S_{nt} . \] 对\(t=1\)，\(n=10\)时\(X(t)\)对应\(S_{10}\)， \(n=100\)时\(X(t)\)对应\(S_{100}\)， 所以\(n\)越大，相当于在\([0,t]\)区间内采样的格子点越多。 但是，这会使得\(\text{Var}(S_{nt}) = nt\)， 所以\(n \to \infty\)时\(\text{Var}(X^{(n)}(t)) = n t \to \infty\)， 这样定义的\(\{ X^{(n)}(t), t \geq 0 \}\)在极限情况下没有二阶矩。 于是，对\(X(t)\)进行适当伸缩，取 \[\begin{align} X^{(n)}(t) = \frac{1}{\sqrt{n}} S_{nt} , \ t \geq 0, \tag{7.2} \end{align}\] 则 \[ \text{Var}(X^{(n)}(t)) = t . \] 这样给定\(n\)后对所有使得\(n t\)为整数的\(t\)都定义了\(X^{(n)}(t)\)的值， 即在\(\frac{1}{n}\)间隔的格子点上的值有定义。 对于两个格子点中间的\(t\)，其\(X^{(n)}(t)\)的值用两侧的值进行线性插值， 这样\(X^{(n)}(t)\)是轨道连续的， 但仅由时间间隔\(\frac{1}{n}\)处的值决定。 令\(n \to \infty\)， \(X^{(n)}(t)\)可以收敛到一个随机过程\(\{X(t), t \geq 0 \}\)。 由\(X^{(n)}(t)\)的性质， 可以猜测\(\{X(t), t \geq 0 \}\)具有如下性质：

(1) \(\{X(t), t \geq 0 \}\)轨道连续。

(2) \(X(t)\)服从均值为0,方差为\(t\)的正态分布.

(3) \(\{X(t), t \geq 0 \}\)有独立增量.

(4) \(\{X(t), t \geq 0 \}\)有平稳增量.

(5) \(\{X(t), t \geq 0 \}\)是鞅。

定理7.5 (Donsker不变原理) 设\(\{\xi_n, n=0,1,\dots \}\)为独立同分布随机变量序列， \(E\xi_1=0\)， \(E(\xi_1^2)=1\)。 对\(h > 0\)，\(t \geq 0\)， 定义 \[ \eta_t^h = \sqrt{h} \cdot (\xi_1 + \xi_2 + \dots + \xi_{\left[ \frac{t}{h} \right]}) . \] 则\(\{\eta_t^h, t \geq 0 \}\)是一个右连左极过程（指轨道右连续、有左极限）。 \(h \to 0\)时\(\{\eta_t^h, t \in [0,1] \}\)收敛到一个标准布朗运动\(\{B(t), t \in [0,1]\}\)。

定理中\(\xi_n\)没有要求服从正态分布， 但由中心极限定理可知\(h \to 0\)时极限分布为正态分布。 标准布朗运动定义见下面。

下面我们就给出Brown运动的严格定义.

定义7.3 (布朗运动) 随机过程\(\{B(t),t\geq 0\}\)如果满足：

(1) \(B(0)=0\);

(2) \(\{X(t),t\geq 0\}\)有平稳独立增量；

(3) 对每个\(t>0,\ X(t)\)服从正态分布\(N(0, t)\).

则称\(\{B(t), t \geq 0 \}\)为标准布朗运动， 也称为维纳过程(Wiener过程). 常记为\(\{B(t), t \geq 0 \}\)或\(\{W(t), t \geq 0 \}\).

也可以定义\(X(t) = \sigma B(t)\)， 称\(\{X(t)\}\)为布朗运动。 不失一般性， 可以只考虑标准Brown运动的情形.

由于这一定义在应用中不是十分方便， 我们不加证明地给出下面的性质作为Brown运动的等价定义， 其证明可以在许多随机过程的著作中找到.

命题7.1 Brown运动是具有下述性质的随机过程\(\{B(t), t \geq 0 \}\):

(1) (正态增量) \(B(t)-B(s) \sim \text{N}(0,t-s)\). 当\(s=0\)时，\(B(t)-B(0) \sim \text{N}(0,t)\).

(2) (独立增量) 对\(0 < s < t\), \(B(t)-B(s)\)独立于过程的过去状态\(B(u),0\leq u\leq s\).

(3) (路径的连续性) \(B(t), t \geq 0\)是\(t\)的连续函数.

注 命题7.1没有假定\(B(0)=0\)， 因此我们称之为始于\(x\)的Brown运动， 所以有时为了强调起始点， 也记为\(\{B^x(t)\}\). 这样， 定义7.3所指的就是始于\(0\)的Brown运动\(\{B^0(t)\}\). 易见， \[\begin{equation} B^x(t) - x = B^0(t) . \tag{7.3} \end{equation}\]

(7.3)式按照下面的定义称为布朗运动的空间齐次性. 此性质也说明， \(B^x(t)\)和\(x+B^0(t)\)是相同的， 我们只需研究始于0的布朗运动就可以了. 如不加说明，布朗运动就是始于\(0\)的布朗运动.

定义7.4 设\(\{X(t), t \geq 0\}\)是随机过程， 如果它的有限维分布是空间平移不变的，即 \[\begin{aligned} & P\{X(t_1) \leq x_1, X(t_2) \leq x_2, \dots, X(t_n) \leq x_n | X(0)=0 \} \\ =& P\{X(t_1) \leq x_1 + x, X(t_2) \leq x_2 + x, \dots, X(t_n) \leq x_n + x | X(0) = x \} , \end{aligned}\] 则称此过程为空间齐次的.

如果\(\{X(t), t \geq 0\}\)的任意有限维分布都是连续型的， 则空间齐次当且仅当\(X(0)=0\)下\((X(t_1), \dots, X(t_n))\)的条件密度\(f(x_1, \dots, x_n)\)， 在\(X(0)=x\)条件下变成\(f(x_1 + x, \dots, x_n + x)\)， 对任意正整数\(n\)和\(0 \leq t_1 < \dots < t_n\), \(x_1, \dots, x_n \in \mathbb R\)成立。

布朗运动还有如下推广的定义。

定义7.5 设\((\Omega, \mathscr F, P)\)是完备的概率空间， \(\{\mathscr F(t), t \geq 0 \}\)是\(\mathscr F\)中的一族子\(\sigma\)代数， 满足\(\mathscr F(s) \subset \mathscr F(t)\), \(\forall 0 \leq s < t\)， 称\(\{ \mathscr F(t) \}\)为\(\sigma\)代数流(filtration)。 随机过程\(\{B(t), t \geq 0 \}\)满足\(B(t)\)关于\(\mathscr F(t)\)可测（\(\forall t \geq 0\)）， 称\(\{B(t), \mathscr F(t), t \geq 0 \}\)为适应过程。 如果\(B(0)=0\), \(B(t)\)轨道连续， 且对任意\(0 \leq s < t\)， \(B(t) - B(s)\)与\(\mathscr F(s)\)独立， 服从\(\text{N}(0, t-s)\)分布， 则称\(\{B(t), \mathscr F(t), t \geq 0 \}\)为标准布朗运动。

当\(\mathscr F(t) = \mathscr F^B(t) = \sigma(\{ B(u): 0 \leq u \leq t\})\)时， 两种定义等价。

另外，因为\(B(t)\)轨道连续， 所以\(B(t, \omega)\)是\(([0, \infty) \times \Omega, \mathscr B([0, \infty)) \times \mathscr F)\)到\(\mathscr B(\mathbb R)\)的(二元)可测变换。

先看一个布朗运动有限维分布的计算例子.

例7.2 设\(\{B(t), t \geq 0\}\)是标准Brown运动， 计算\(P\{B(2) \leq 0\}\)和\(P\{B(t) \leq 0, t=0,1,2 \}\).

解： 由于\(B(2) \sim \text{N}(0,2)\)， 所以 \[ P\{ B(2)\leq 0 \} = \frac{1}{2}. \]

因为\(B(0)=0\)， 所以 \[ P\{ B(t) \leq 0, t = 0, 1, 2 \} = P\{ B(t) \leq 0, t=1,2 \} = P\{B(1) \leq 0, B(2) \leq 0\} . \] 虽然\(B(1)\)和\(B(2)\)不是独立的， 但由命题7.1(2)和(3)可知\(B(2)-B(1)\)与\(B(1)\)是相互独立的标准正态分布随机变量， 于是利用分解式 \[ B(2) = B(1) + (B(2)-B(1)) \] 我们有 \[\begin{aligned} & P\{ B(1) \leq 0, B(2) \leq 0 \} \\ =& P\{ B(1) \leq 0, B(1) + (B(2)-B(1)) \leq 0 \}\\ =& P\{ B(1) \leq 0, B(2)-B(1) \leq -B(1) \} \\ =& \int^0_{-\infty} P\{B(2)-B(1)\leq -x\} \phi(x) dx \qquad(*)\\ =& \int^0_{-\infty} \Phi(-x) \phi(x) \,dx = \int_0^{\infty} \Phi(x) \phi(-x) \,dx \\ =& \int_0^{\infty} \Phi(x) \phi(x) \,dx = \int_0^{\infty} \Phi(x) \, d\Phi(x) \\ =& \int_{\frac{1}{2}}^1 y \, dy = \frac{3}{8} . \end{aligned}\]

其中(*)式用了全期望公式:

\[\begin{aligned} & P\{ B(1) \leq 0, B(2) \leq 0 \} \\ =& P\{ B(1) \leq 0, B(2)-B(1) \leq -B(1) \} \\ =& E\left[ I_{\{ B(1) \leq 0 \}} I_{\{ B(2)-B(1) \leq -B(1) \}} \right] \\ =& E \left\{ E\left[ I_{\{ B(1) \leq 0 \}} I_{\{ B(2)-B(1) \leq -B(1) \}} |\; B(1)\right] \right\} \end{aligned}\] 而 \[\begin{aligned} & E\left[ I_{\{ B(1) \leq 0 \}} I_{\{ B(2)-B(1) \leq -B(1) \}} |\; B(1) = x \right] \\ =& E\left[ I_{\{ x \leq 0 \}} I_{\{ B(2)-B(1) \leq -x \}} |\; B(1) = x \right] \\ =& I_{\{ x \leq 0 \}} E\left[ I_{\{ B(2)-B(1) \leq -x \}} |\; B(1) = x \right] \\ =& I_{\{ x \leq 0 \}} \Phi(-x), \end{aligned}\] 所以 \[\begin{aligned} & P\{ B(1) \leq 0, B(2) \leq 0 \} \\ =& E \left\{ I_{\{ B(1) \leq 0 \}} \Phi(-B(1)) \right\} \\ =& \int_{-\infty}^0 \Phi(-x) \phi(x) \,dx . \end{aligned}\]

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如果过程从\(x\)开始，\(B(0)=x\)， 则\(B(t) \sim \text{N}(x, t)\)，于是 \[ P_x\{ B(t) \in (a,b) \} = \int^b_a \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}} \,dy. \] 这里， 概率\(P_x\)的下标\(x\)表示过程始于\(x\)， 或\(B(0)=x\)条件下的条件概率. 积分号中的函数 \[\begin{equation} p_t(x,y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}} \tag{7.4} \end{equation}\] 称为布朗运动的转移概率密度. 实际上， 布朗运动是连续时间、连续状态的马氏过程。 利用独立增量性以及转移概率密度， 我们可以计算任意布朗运动的有限维分布：

命题7.2 对布朗运动\(B^x(t)\), \(t \geq 0\)， 以及\(0 \leq t_1 < t_2 < \dots < t_n\)，有如下联合分布函数 \[\begin{align} &P_x \left( B(t_1) \leq x_1, \dots, B(t_n) \leq x_n \right) \\ =& \int^{x_1}_{-\infty} p_{t_1}(x,y_1) \,dy_1 \int^{x_2}_{-\infty} p_{t_2-t_1}(y_1,y_2) \,dy_2 \cdots \int^{x_n}_{-\infty} p_{t_n - t_{n-1}}(y_{n-1}, y_n) \,dy_n , \tag{7.5} \end{align}\] 即\([B(t_1), B(t_2), \dots, B(t_n)]\)的联合密度为 \[\begin{align} p_{t_1, t_2, \dots, t_n}(y_1, y_2, \dots, y_n) = p_{t_1}(x, y_1) p_{t_2 - t_1}(y_1, y_2) \dots p_{t_n - t_{n-1}}(y_{n-1}, y_n) . \tag{7.6} \end{align}\]

证明： 在证明中省略\(B^x\)中的记号\(x\)。 只要证明(7.6)。 由布朗运动的平稳独立增量性以及正态分布的线性组合服从多元正态分布， 可知\([B(t_1), B(t_2), \dots, B(t_n)]\)服从联合正态分布。 于是其联合密度为 \[\begin{aligned} & p_{t_1, t_2, \dots, t_n}(y_1, y_2, \dots, y_n) \\ =& p_{t_1}(y_1) p_{t_2 | t_1}(y_2 | y_1) \dots p_{t_n | t_1, \dots, t_{n-1}}(y_n | y_1, \dots, y_{n-1}), \end{aligned}\] 其中\(p_{t_n | t_1, \dots, t_{n-1}}(y_n | y_1, \dots, y_{n-1})\)表示在\([B(t_1), \dots, B(t_{n-1})] = (y_1, \dots, y_{n-1})\)条件下\(B(t_n)\)的条件密度。 注意到 \[ B(t_n) = [B(t_n) - B(t_{n-1})] + B(t_{n-1}), \] \([B(t_n) - B(t_{n-1})]\)与\(B(t_{n-1})\)独立且\([B(t_n) - B(t_{n-1})] \sim \text{N}(0, t_n - t_{n-1})\)， 所以\(B(t_n) | B(t_1) = y_1, \dots, B(t_{n-1}) = y_{n-1}\)的分布等于\(B(t_n) | B(t_{n-1}) = y_{n-1}\)的分布， 这个条件分布为\(\text{N}(y_{n-1}, t_n - t_{n-1})\)， 密度为\(p_{t_n - t_{n-1}}(y_{n-1}, y_n)\)。 命题得证。

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为了讨论Brown运动的路径性质， 我们回顾有关有界变差函数的概念， 并引入二次变差定义。

闭区间上有界变差函数为两个增函数的差， 是几乎处处可微的。

闭区间上连续可微函数必为有界变差， 事实上， \[\begin{aligned} & \sum_{i=0}^{n-1} |f(t_{i+1}) - f(t_i)| \\ =& \sum_{i=0}^{n-1} |f'(t_i^*)|\; (t_{i+1} - t_i) \\ \leq& \max_{u \in [s,t]} |f'(u)| (t-s) . \end{aligned}\]

因为增加分点必令\(\nu_{\Delta}\)单调不减， 所以对闭区间连续可微函数\(f\)有 \[ \bigvee_{s}^t(f) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} |f'(t_i^*)|\; (t_{i+1} - t_i) = \int_s^t |f'(u)| \,du . \] 其中设\(n \to \infty\)时分割的最大间距\(\delta_n = \max_{0 \leq i \leq n-1}(t_{i+1} - t_i) \to 0\)。

定义7.6 (二次变差) 对随机过程\(\{X(t), t \geq 0 \}\)， 设\(0 \leq s = t_0 < t_1 < \dots < t_n = t\)， 称\(\{t_i \}\)为区间\([s,t]\)的一个分割， 记\(\delta_n = \max_i (t_{i+1} - t_i)\), \[ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} |X(t_{i+1}) - X(t_i)|^2, \] 如果\(n \to \infty\)时\(\delta_n \to 0\), 且\(S_n\)依概率收敛到\(\xi\)， \(\xi\)与分割\(\{t_i \}\)取法无关， 则称\(\xi\)为\(\{X(t) \}\)在\([s,t]\)的二次变差， 记为\([X,X]([s,t])\)。 当\(s=0\)时记为\([X,X](t)\)。

如果\(\{X(t) \}\)的轨道连续可微， 则二次变差等于0。 事实上，这时 \[\begin{aligned} & \sum_{i=0}^{n-1} |X(t_{i+1}) - X(t_i)|^2 \\ =& \sum_{i=0}^{n-1} |X'(t_i^*)|^2\; (t_{i+1} - t_i)^2 \\ \leq& \max_{u \in [s,t]} |X'(u)|^2 (t-s) \delta_n \to 0 . \end{aligned}\]

引理7.1 设\(\{B(t), t \geq 0 \}\)为标准布朗运动， \(\{t_i \}\)为\([s,t]\)的分割， \(\delta_n = \max_i (t_{i+1} - t_i)\)， 则 \[ E \left| \sum_{i=0}^{n-1} (B(t_{i+1}) - B(t_i))^2 - (t-s) \right|^2 \leq 2 \delta_n (t-s) . \]

证明 记 \[ \Delta t_i = t_{i+1} - t_i, \quad \Delta B(t_i) = B(t_{i+1}) - B(t_i), \] 则 \[\begin{aligned} & E \left| \sum_{i=0}^{n-1} (B(t_{i+1}) - B(t_i))^2 - (t-s) \right|^2 \\ =& E \left| \sum_{i=0}^{n-1} \left[ (\Delta B(t_i))^2 - \Delta t_i \right] \right|^2 \\ =& \sum_{i=0}^{n-1} E \left[ (\Delta B(t_i))^2 - \Delta t_i \right]^2 \\ & + \sum_{i\neq j} E \left\{ \left[ (\Delta B(t_i))^2 - \Delta t_i \right] \left[ (\Delta B(t_j))^2 - \Delta t_j \right]\right\} \end{aligned}\] 因为\(i\neq j\)时\(\Delta B(t_i)\)和\(\Delta B(t_j)\)相互独立， 而\(E[(\Delta B(t_i))^2] = \Delta t_i\)，所以上式右侧的第二项为零。 利用\(\Delta B(t_i) \sim \text{N}(0, \Delta t_i)\)以及正态分布的四阶矩， 可得 \[\begin{aligned} & E \left| \sum_{i=0}^{n-1} (B(t_{i+1}) - B(t_i))^2 - (t-s) \right|^2 \\ =& \sum_{i=0}^{n-1} \left[ E[(\Delta B(t_i))^4] + (\Delta t_i)^2 - 2 (\Delta t_i) E[(\Delta B(t_i))^2] \right] \\ =& \sum_{i=0}^{n-1} \left[ 3 (\Delta t_i)^2 + (\Delta t_i)^2 - 2 (\Delta t_i)^2 \right] \\ =& 2 \sum_{i=0}^{n-1} (\Delta t_i)^2 \leq 2 \delta_n \sum_{i=0}^{n-1} (\Delta t_i) \\ =& 2 \delta_n (t-s) . \end{aligned}\]

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定理7.6 设\(\{B(t), t\geq 0\}\)为标准布朗运动， \(\{t_i\}\)是\([s,t]\)的分割且\(\delta_n = \max_i (t_{i+1} - t_i) \to 0\)， 则 \[\begin{aligned} E \left| \sum_{i=0}^{n-1} (B(t_{i+1}) - B(t_i))^2 - (t-s) \right|^2 \to 0, \ n \to \infty, \end{aligned}\] 从而\([B,B]([s,t]) = t-s\), \([B,B](t)=t\)。

证明 由引理7.1即得极限为0， 从而\(\sum_{i=0}^{n-1} (B(t_{i+1}) - B(t_i))^2\)均方收敛到\(t-s\)， 从而依概率收敛到\(t-s\)，于是得定理结论。

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引理7.2 设\(\{B(t), t\geq 0\}\)为标准布朗运动， \(0 \leq s < t\), 取\(s = t_0 < t_1 < \dots < t_{2^n} = t\)为\([s,t]\)的\(2^n\)等分点， 则 \[ \sum_{i=0}^{2^n - 1} (\Delta B(t_i))^2 \to t-s, \ \text{a.s.}, \ (n \to \infty). \]

证明 记 \[ S_n = \sum_{i=0}^{2^n - 1} (\Delta B(t_i))^2, \] 则 \[\begin{aligned} E S_n = \sum_{i=0}^{2^n - 1} (t_{i+1} - t_i) = t-s, \end{aligned}\] 由引理7.1， \[\begin{aligned} E|S_n - (t-s)|^2 \leq 2 \delta_n (t-s) = 2 (t-s)^2 2^{-n}, \end{aligned}\] 于是 \[\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty E|S_n - (t-s)|^2 < \infty, \end{aligned}\] 由单调收敛定理有 \[\begin{aligned} E \sum_{n=1}^\infty |S_n - (t-s)|^2 =&\sum_{n=1}^\infty E|S_n - (t-s)|^2 < \infty, \end{aligned}\] 所以 \[\begin{aligned} & \sum_{n=1}^\infty |S_n - (t-s)|^2 < \infty, \ \text{a.s.}, \\ & |S_n - (t-s)|^2 \to 0, \ \text{a.s.} \end{aligned}\] 引理得证。

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引理7.3 设\(\{B(t), t\geq 0\}\)为标准布朗运动， \(0 \leq s < t\), 取\(s = t_0 < t_1 < \dots < t_{2^n} = t\)为\([s,t]\)的\(2^n\)等分点， 则 \[ \sum_{i=0}^{2^n - 1} |\Delta B(t_i)| \to \infty, \ \text{a.s.}, \ (n \to \infty). \]

证明 记 \[\begin{aligned} M_n(\omega) = \max_i |B(t_{i+1}, \omega) - B(t_i, \omega)|, \end{aligned}\] 当\(n \to \infty\)时\(t_{i+1} - t_i = (t-s) 2^{-n}\)， 由\(B(t, \omega)\)对固定的\(\omega\)关于\(t\)连续以及闭区间连续函数一致连续， 可知\(M_n(\omega) \to 0\), \(n \to \infty\)。而 \[\begin{aligned} \sum_{i=0}^{2^n - 1} |\Delta B(t_i)|^2 \leq M_n(\omega) \sum_{i=0}^{2^n - 1} |\Delta B(t_i)|, \end{aligned}\] 由引理7.2知\(\sum_{i=0}^{2^n - 1} |\Delta B(t_i)|^2 \to t-s>0\), a.s.， 于是 \[\begin{aligned} \sum_{i=0}^{2^n - 1} |\Delta B(t_i)| \geq& \frac{\sum_{i=0}^{2^n - 1} |\Delta B(t_i)|^2}{ M_n(\omega)} \to \infty, \ n \to \infty . \end{aligned}\]

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推论7.2 布朗运动的轨道都不是有界变差的。

布朗运动的二次变差会出现在随机积分的Ito公式中。 一般的Stiejes积分并不会出现二次变差。

下面是布朗运动的路径性质. 从时刻0到时刻\(T\)对布朗运动的一次观察称为布朗运动在区间\([0,T]\)上的一个路径（轨道）或一个实现. 布朗运动的几乎所有样本路径\(B(t), 0 \leq t \leq T\)都具有下述性质：

是\(t\)的连续函数；

在任意区间(无论区间多么小)上都不是单调的;

在任意点都不是可微的；

在任意区间(无论区间多么小)上都不是有界变差的;

对任意\(0 \leq s < t\)，在\([s,t]\)上的二次变差等于\(t-s\).

关于性质1的直观解释： \[\begin{aligned} \lim_{\Delta t \to 0} E|X(t+\Delta t) - X(t)|^2 = \lim_{\Delta t \to 0} \Delta t = 0 . \end{aligned}\]

关于性质2的直观解释： 将\([t, t + \Delta t]\)等分为\(n\)分， 则每一份上的增量独立同\(\text{N}(0, \frac{\Delta t}{n})\)分布， 这\(n\)个增量同为正号或者同为负号的概率为 \[ 2 \times (\frac{1}{2})^n = 2^{-(n-1)} \to 0, \] 所以不可能单调。

性质3的直观解释： \[\begin{aligned} E \left| \frac{X(t + \Delta t) - X(t)}{\Delta t} \right|^2 =& \frac{\Delta t}{\Delta t^2} \to \infty, \\ E \left| \frac{X(t + \Delta t) - X(t)}{\Delta t} \right| =& \frac{\sqrt{\Delta t} E|Z|}{\Delta t} \to \infty, \end{aligned}\] (其中\(Z\)表示标准正态分布随机变量) 这提示\(\lim_{\Delta t \to 0}\frac{X(t + \Delta t) - X(t)}{\Delta t}\)不存在。

性质4由推论7.2给出。

性质5由定理7.6给出。

定理7.7 布朗运动是均值函数为\(m(t) = 0\)， 协方差函数为\(\gamma(s,t) = \min(t,s)\)的高斯过程.

证明： 由于布朗运动的均值是0, 所以其协方差函数为 \[ \gamma(s,t) = \text{Cov}[B(t),B(s)]=E[B(t) B(s)] \] 若\(ts\)，也有\(E[B(t) B(s)] = s\)， 即\(E[B(t) B(s)] = \min(t,s)\)。

已知\(B(t)\)服从正态分布\(\text{N}(0, t)\)。 对正整数\(n \geq 2\)，以及\(0 \leq t_1 < t_2 < \dots < t_n\)， 注意到\(B(t_1), B(t_2)-B(t_1), \dots, B(t_n)-B(t_{n-1})\)相互独立， 所以\(B(t_1), B(t_2)-B(t_1), \dots, B(t_n)-B(t_{n-1})\)服从多元正态分布， 由多元正态分布的线性组合仍为多元正态分布可知\((B(t_1), B(t_2), \dots, B(t_n))\)服从多元正态分布， 其分布参数完全由均值和协方差阵决定。 \((B(t_1), B(t_2), \dots, B(t_n))\)期望值等于\(\boldsymbol 0\)， 分量的方差和协方差\(\text{Cov}(B(t_i), B(t_j)) = \min(t_i, t_j)\)， 即 \[\begin{aligned} \begin{pmatrix} B(t_1) \\ B(t_2) \\ \vdots \\ B(t_n)) \end{pmatrix} \sim \text{N} \left( \boldsymbol 0, \; \begin{pmatrix} t_1 & t_1 & \cdots & t_1 \\ t_1 & t_2 & \cdots & t_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ t_1 & t_2 & \cdots & t_n \end{pmatrix} \right) \end{aligned}\] 从而\(\{B(t), t \geq 0\}\)是高斯过程。

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例7.3 设\(\{B(t)\}\)是布朗运动， 求 \(B(1)+B(2)+B(3)+B(4)\)的分布.

解： 考虑随机向量\(\boldsymbol{X}=(B(1), B(2), B(3), B(4))^T\)， 由定理7.7可知\(\boldsymbol{X}\)服从多元正态分布， 且具有零均值和协方差矩阵 \[ \Sigma = \left(\begin{array}{cccc} 1\ 1\ 1\ 1\\ 1\ 2 \ 2\ 2\\ 1\ 2\ 3\ 3\\ 1\ 2\ 3\ 4 \end{array}\right) . \] 令\(A=(1,1,1,1)\)，则 \[ A \boldsymbol{X} = B(1) + B(2) + B(3) + B(4) , \] 具有均值为0， 方差为\(A \Sigma A^T=30\)的正态分布. 于是\(B(1)+B(2)+B(3)+B(4) \sim \text{N}(0, 30)\).

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例7.4 求\(B(\frac{1}{4}) + B(\frac{1}{2}) + B(\frac{3}{4}) + B(1)\)的分布.

解： 考虑随机向量\(\boldsymbol Y=(B(\frac{1}{4}), B(\frac{1}{2}), B(\frac{3}{4}), B(1))\). 易见， \(\boldsymbol Y\)与上例中的\(X\)具有相同的情形. 所以它的协方差矩阵为\(\frac{1}{4}\Sigma\). 因此 \(A \boldsymbol Y = B(\frac{1}{4}) + B(\frac{1}{2}) + B(\frac{3}{4}) + B(1) \sim \text{N}(0, \frac{30}{4})\).

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例7.5 求概率\(P\{ \int^1_0 B(t) dt > \frac{2}{\sqrt{3}} \}\).

解： 首先需要指出的是， 布朗运动具有连续路径， 所以对每个路径来说, 黎曼（Riemann）积分\(\int^1_0 B(t) dt\)存在. 我们只需找出\(\int^1_0 B(t) dt\)的分布. 由黎曼积分的定义， 我们可以从逼近和 \[ \sum_{i=1}^{n} B(t_i) \Delta t_i \] 的极限分布得到. 这里\(0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = 1\)是\([0,1]\)的分点， \(\Delta t_i = t_{i} - t_{i-1}\)， 例如取\(t_i = \frac{i}{n}\). 当\(n=4\)时， 逼近和即为例7.4中的随机变量. 由于正态分布的线性组合仍为正态分布， 所以逼近和的分布都是零均值的正态分布。 方差为 \[\begin{aligned} & \text{Var}\left( \sum_{i=1}^{n} B(t_i) \Delta t_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \text{Cov}(B(t_i), B(t_j)) \Delta t_i \Delta t_j \\ =& \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \min(t_i, t_j) \Delta t_i \Delta t_j \\ \to& \int_0^1 \int_0^1 \min(s,t) \,ds\,dt \\ =& \frac{1}{3}, \end{aligned}\] 由定理7.4可知逼近和的极限\(\int_0^1 B(t) \,dt\)仍服从正态分布\(\text{N}(0, \frac{1}{3})\)。 于是所求概率为 \[ P\left\{ \int^1_0 B(t) dt > \frac{2}{\sqrt{3}} \right\} =P\left\{ \sqrt{3} \int^1_0 B(t) dt > 2 \right\} = 1 - \Phi(2) . \] 这里\(\Phi(x)\)是标准正态分布的分布函数.

也可以形式地计算 \[\begin{aligned} E \int_0^1 B(t) \,dt =& \int_0^1 E[B(t)] \,dt = 0, \\ \text{Var}\left( \int_0^1 B(t) \,dt \right) =& E \left( \int_0^1 B(t) \,dt \cdot \int_0^1 B(s) \,ds \right) \\ =& \int_0^1 \int_0^1 E[B(t) B(s)] \,ds \,dt \\ =& \int_0^1 \int_0^1 \min(t, s) \,ds \,dt \\ =& \frac{1}{3} . \end{aligned}\]

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例7.5可以推广为如下的一般结果。

引理7.4 设\(\{ B(t), t \geq 0\}\)为标准布朗运动， \(g(x)\)为\(\mathbb R\)上的连续函数， 对\(0 \leq s < t\)， 设\(\int_s^t E[|g(B(u))|] \,du < \infty\)， 则\(\int_s^t g(B(u)) \,du\)存在且 \[ E \int_s^t g(B(u)) \,du = \int_s^t E[g(B(u))] \,du . \]

证明： 因为\(B(t)\)轨道连续， \(g(\cdot)\)连续故\(g(B(t))\)轨道连续， \(\int_s^t g(B(u)) \,du\)有定义， 且\(g(B(t, \omega))\)是\(([0, \infty) \times \Omega, \mathscr B([0, \infty)) \times \mathscr F)\)到\(\mathscr B(\mathbb R)\)的可测变换。

因为 \[ \int_s^t E[|g(B(u))|] \,du = \int_s^t \int_{\Omega} |g(B(u, \omega))| \,dP(\omega) \,du < \infty , \] 由富比尼定理即知 \[\begin{aligned} & E \int_s^t g(B(u)) \,du = \int_{\Omega} \int_s^t g(B(u, \omega)) \,du \, dP(\omega) \\ =& \int_s^t \int_{\Omega} g(B(u, \omega)) dP(\omega) \,du \\ =& \int_s^t E[g(B(u))] \, du . \end{aligned}\]

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引理7.5 设\(\{ B(t), t \geq 0\}\)为标准布朗运动， \(g(x, y)\)为\(\mathbb R^2\)上的连续函数， 对\(0 \leq s_1 < t_1\)，\(0 \leq s_2 < t_2\)， 设 \[ \int_{s_1}^{t_1} \int_{s_2}^{t_2} E[|g(B(u), B(v))|] \,dv \,du < \infty, \] 则\(\int_{s_1}^{t_1} \int_{s_2}^{t_2} g(B(u), B(v)) \,dv \,du\)存在且 \[ E \int_{s_1}^{t_1} \int_{s_2}^{t_2} g(B(u), B(v)) \,dv \,du = \int_{s_1}^{t_1} \int_{s_2}^{t_2} E[g(B(u), B(v))] \,dv \,du . \]

证明仍使用Fubini定理。

例7.6 对例7.5， 用引理7.4和引理7.5求解。

解答： 这时 \[ \int_0^1 E|B(u)| \,du = \int_0^1 \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sqrt{u} \,du = \sqrt{\frac{4}{3\pi}} < \infty, \] 由引理7.4可知 \[ E \int_0^1 B(u) \,du = \int_0^1 E[B(u)] \,du = 0 . \]

另外， 对\(t < s\)， \[\begin{aligned} E|B(t) B(s)| =& E|B(t) [ B(t) + (B(s) - B(t))]| \\ =& E[B^2(t)] + E|B(t)| \cdot E|B(s) - B(t)| \\ =& t + \frac{2}{\pi} \sqrt{t(s-t)} \\ \leq& t + s, \end{aligned}\] \(t \leq s\)时不等式仍成立，所以 \[ \int_0^1 \int_0^1 E|B(t) B(s)| \,ds \,dt \leq \int_0^1 \int_0^1 (t+s) \,ds \,dt = 1, \] 由引理7.5可知 \[\begin{aligned} & \text{Var}(\int_0^1 B(u) \,du) \\ =& E\left[\int_0^1 B(u) \,du \right]^2 = E \left[\int_0^1 B(u) \,du \int_0^1 B(v) \,dv \right] \\ =& E \int_0^1 \int_0^1 B(u)B(v) \,dv \,du \\ =& \int_0^1 \int_0^1 E[B(u) B(v)] \,dv \,du \\ =& \int_0^1 \int_0^1 \min(u,v) \,dv \,du \\ =& \frac{1}{3} . \end{aligned}\]

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本节讨论与Brown运动相联系的几个鞅， 首先回忆连续鞅的定义.

定义7.7 随机过程\(\{X(t), t \geq 0 \}\)称为鞅， 如果\(\forall t\), \(E[|X(t)|]0\), 有 \[\begin{equation} E[X(t+s)|{\mathscr F}_t] = X(t), \text{ a.s.} \tag{7.7} \end{equation}\] 这里\({\mathscr F}_t = \sigma\{X(u), 0 \leq u \leq t \}\)是由\(\{ X(u), 0 \leq u \leq t \}\)生成的\(\sigma\)代数， 其中的等式(7.7)是几乎必然成立的， 在后面有关的证明中，有时也省略a.s.

更一般的， 可以设\(\{X(t), \mathscr F(t), t \geq 0 \}\)是适应过程且满足上面的条件。

定理7.8 设\(\{B(t)\}\)是布朗运动，则

(1) \(\{B(t)\}\)是鞅；

(2) \(\{B^2(t) - t\}\)是鞅；

(3) 对任意实数\(u\),\(e^{-\frac{u^2}{2} t} e^{u B(t)}\)是鞅.

证明： 由\(B(t+s) - B(t)\)与\({\mathscr F}_t\)的独立性可知对任意函数\(g(x)\)，有 \[\begin{equation} E[g(B(t+s) - B(t)) | {\mathscr F}_t] = E[g(B(t+s)-B(t))] \tag{7.8} \end{equation}\]

(1) 由布朗运动的定义, \(B(t)\sim N(0,t)\), 所以\(B(t)\)一阶矩有限, 且\(E[B(t)]=0\), \[\begin{aligned} E[B(t+s) | {\mathscr F}_t] =& E[B(t) + (B(t+s) - B(t)) | {\mathscr F}_t] \\ =& E[B(t) | {\mathscr F}_t] + E[B(t+s) - B(t) | {\mathscr F}_t] \\ =& B(t) + E[B(t+s)-B(t)] = B(t) . \end{aligned}\]

(2) 由于\(E[B^2(t)] = t < \infty\)， 所以\(B^2(t)\)一阶矩有限， 由于 \[\begin{aligned} B^2(t+s) =& [B(t) + (B(t+s)-B(t))]^2 \\ =& B^2(t) + 2 B(t)[B(t+s) - B(t)] + [B(t+s) - B(t)]^2, \end{aligned}\] 从而 \[\begin{aligned} & E[B^2(t+s) | {\mathscr F}_t] \\ =& B^2(t) + 2 E[B(t) (B(t+s)-B(t)) | {\mathscr F}_t] + E[(B(t+s) - B(t))^2 | {\mathscr F}_t] \\ =& B^2(t) + 2 B(t) E[(B(t+s)-B(t)) | {\mathscr F}_t] + E[(B(t+s) - B(t))^2] \\ =& B^2(t) + 0 + s , \end{aligned}\] 这里我们利用了\(B(t+s)-B(t)\)与\({\mathscr F}_t\)的独立性且具有均值0， 并对\(g(x) = x^2\)应用式(7.8). 在上式两端同时减去\((t+s)\)， 则(2)得证.

(3) 考虑\(B(t) \sim \text{N}(0,t)\)的矩母函数\(E[e^{u B(t)}]=e^{t u^2/2} < \infty\)， 这蕴含着\(e^{u B(t)}\)是一阶矩有限的，并且 \[ E \left[ e^{-\frac{u^2}{2} t} e^{u B(t)} \right] = 1 . \] 取\(g(x)=e^{u x}\)，利用式(7.8)，可得 \[\begin{aligned} & E \left[ e^{u B(t+s)} | {\mathscr F}_t \right] \\ =& E \left[ \exp\{u \cdot B(t) + u \cdot (B(t+s)-B(t)) \} | {\mathscr F}_t \right] \\ =& e^{u \cdot B(t)} E \left[ \exp\{u \cdot (B(t+s) - B(t)) \} \vert {\mathscr F}_t \right] \\ =& e^{u \cdot B(t)} E\left[\exp \{u \cdot (B(t+s) - B(t)) \} \right] \\ =& e^{u B(t)} e^{\frac{u^2}{2} s}, \end{aligned}\] 两端同时乘以\(e^{-\frac{u^2}{2} (t+s)}\), 则(3)得证.

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注1: 上述定理所给的这3个鞅在理论上也有着十分重要的意义， 比如鞅\(\{ B^2(t) - t \}\)就是布朗运动的特征，即， 如果连续鞅\(\{ X(t) \}\)使得\(\{X^2(t) - t \}\)也是鞅， 则\(\{ X(t) \}\)是布朗运动.

注2： 结论可以推广到\(\{B(t), \mathscr F(t), t \geq 0 \}\)是布朗运动的情形。 即\(\mathscr F(t) \supset \sigma(\{B(u): 0 \leq u \leq t \})\)的情形。

所谓马氏性是指在知道过程的现在与过去的状态的条件下， 过程将来的表现（分布）与过去无关. 换言之，过程的将来依赖于现在， 但是并不记忆现在的状态是如何得到的，即“无记忆性”. 在第5章中我们介绍了马氏链和连续时间离散状态的马氏过程, 而在这里我们所讨论的布朗运动是连续时间连续状态过程， 为此我们从连续马氏过程的定义开始.

定义7.8 设\(\{ X(t), t \geq 0 \}\)是一个连续时间的随机过程, 如果\(\forall t, s > 0\), 有 \[\begin{equation} P\{ X(t+s) \leq y | {\mathscr F}_t \} = P\{ X(t+s) \leq y | X(t) \}, \text{ a.s.} \tag{7.9} \end{equation}\] 则称\(\{ X(t) \}\)为马氏过程, 这里\({ \mathscr F}_t = \sigma\{ X(u), 0 \leq u \leq t \}\). 性质(7.9)称为马氏性.

这个定义是利用将来的条件分布， 另一种定义是利用将来的状态的函数的条件期望， 参见5.17。

定理7.9 布朗运动\(\{ B(t) \}\)具有马氏性.

证明： 注意到\(B(t+s)-B(t)\)与\({\mathscr F}_t\)独立， 用矩母函数方法可以证明\(B(t+s)\)在给定条件\({\mathscr F}_t\)下的分布与在给定条件\(B(t)\)下的分布是一致的. 事实上， 由定理7.8第(3)条， \(e^{-\frac{u^2}{2} t} e^{u B(t)}\)是鞅，可得 \[\begin{aligned} & E \left[ e^{u B(t+s)} | {\mathscr F}_t \right] \\ =& e^{\frac{u^2}{2}(t+s)} E \left[ e^{-\frac{u^2}{2}(t+s)} e^{u B(t+s)} | {\mathscr F}_t \right] \\ =& e^{\frac{u^2}{2}(t+s)} e^{-\frac{u^2}{2} t} e^{u B(t)} \\ =& e^{\frac{u^2}{2} s} e^{u B(t)} . \end{aligned}\] 而 \[\begin{aligned} & E[e^{u B(t+s)} | B(t) ] \\ =& E\left[e^{u B(t)} e^{u (B(t+s)-B(t))} | B(t) \right] \\ =& e^{u B(t)} E\left[ e^{u (B(t+s) - B(t))} \right] \\ =& e^{u B(t)} e^{\frac{u^2}{2} s} \\ =& E \left[ e^{u B(t+s)} | {\mathscr F}_t \right], \end{aligned}\] 所以\(B(t+s)\)在给定条件\({\mathscr F}_t\)下的分布与在给定条件\(B(t)\)下的分布是一致的, 即\(\{ B(t) \}\)具有马氏性.

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实际上， 马氏性也蕴含了： 对\(0 \leq t < t_1 < t_2 < \dots < t_n\)， \((X(t_1), X(t_2), \dots, X(t_n))\)在\(\mathscr F_t\)下联合条件分布， 等于在\(X(t)\)条件下的联合条件分布； 进一步地， \(X(t+s), s \geq 0\)在\(\mathscr F_t\)下的分布（用函数空间上取值的随机元表示）， 等于在\(X(t)\)条件下的分布。 参见(Karatzas and Shreve 1998)§2.5命题2.5.15。

连续状态的马氏过程\(\{X(t)\}\)的转移概率分布定义为在时刻\(s\)过程处于状态\(x\)的条件下， 过程在时刻\(t\)的分布函数 \[ F(y,t,x,s)=P\{ X(t) \leq y | X(s)=x\}, \] 在布朗运动的情况下，这一分布函数是正态的 \[ F(y,t,x,s) = \int^y_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi (t-s)}} \exp \left\{-\frac{(u-x)^2}{2(t-s)} \right\} \,du . \] 布朗运动的转移概率函数满足方程\(F(s, t; x, y)=F(0, t-s, x, y)\)， 这说明布朗运动是时齐的马氏过程。 这等价于 \[\begin{equation} P \{ B(t) \leq y | B(s)=x \} = P\{ B(t-s) \leq y | B(0) = x \} \tag{7.10} \end{equation}\] 当\(s = 0\)时，\(F(0,t; x, y)\)具有密度函数 \[ p_t(x,y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}} , \] 即布朗运动的转移概率密度。

公式(7.10)给出的性质称为布朗运动的时齐性， 即条件分布不随时间的平移而变化. 于是由(7.5)可知布朗运动的所有有限维条件分布都是时间平移不变的， 但这是条件分布而不是分布， 布朗运动并不是严平稳过程.

下面讨论布朗运动的强马氏性， 为此给出关于\(B(t)\)停时的定义.

定义7.9 如果非负随机变量\(T\)可以取无穷值， 既\(T: \Omega \to [0,\infty]\)， 并且\(\forall t\)， 有\(\{T \leq t\} \in {\mathscr F}_t = \sigma\{B(u), 0 \leq u \leq t \}\)， 则称\(T\)为关于\(\{B(t), t\geq 0 \}\)的停时.

所谓强马氏性， 实际上是将马氏性中固定的时间\(t\)用停时\(T\)来代替. 下面我们不加证明的给出关于布朗运动的强马氏性定理.

定理7.10 设\(T\)是关于布朗运动\(\{B(t)\}\)的有限停时， \[ {\mathscr F}_T = \{ A \in {\mathscr F}: A \cap \{T \leq t \} \in {\mathscr F}_t, \forall t \geq 0 \} , \] 则 \[ P\{ B(T+t) \leq y | {\mathscr F}_T \} = P\{ B(T+t) \leq y | B(T) \}, \text{ a.s.} \] 即布朗运动\(\{ B(t) \}\)具有强马氏性. 进一步地， \[\begin{equation} \hat{B}(t) = B(T+t) - B(T), \ t \geq 0 \end{equation}\] 是始于\(0\)的布朗运动并且独立于\({\mathscr F}_T\).

参见(Karatzas and Shreve 1998)节2.6定理2.6.16.

注：并非所有马氏过程都有强马氏性。

考虑从0出发的标准布朗运动\(\{B(t), t \geq 0\}\)， 记\(T_x\)为到达\(x\)的首达时，即 \[ T_x = \inf\{ t>0: B(t) = x \} . \] 因为布朗运动的轨道连续， 所以对\(x \neq 0\)，\(0 < T_x \leq +\infty\)。

当\(x>0\)时， 为计算\(P\{ T_x \leq t \}\), 我们考虑\(P\{B(t) \geq x \}\). 由全概率公式 \[\begin{aligned} & P\{ B(t) \geq x \} \\ =& P\{ B(t) \geq x | T_x \leq t \} P\{ T_x \leq t \} \\ & + P\{ B(t) \geq x | T_x > t \} P\{ T_x > t \} , \end{aligned}\] 右侧的第二项\(T_x > t\)表示截止到\(t\)时刻未达到\(x>0\)处， 因为\(B(0)=0\)以及轨道连续性， 这时必有\(B(t) < x\)成立， 即\(P\{ B(t) \geq x | T_x > t \} = 0\)， 所以 \[ P\{ B(t) \geq x \} = P\{ B(t) \geq x | T_x \leq t \} P\{ T_x \leq t \} . \] 若\(T_x \leq t\)， 则\(B(t)\)在\([0,t]\)中的某个时刻击中\(x\)， \(B(T_x) = x\), 由布朗运动的强马氏性， 可以认为布朗运动从\(B(T_x) = x\)重新开始， 上行与下行概率各\(\frac{1}{2}\)， 即于是\(P(B(t) \geq x) = P(B(t) \leq x) = \frac{1}{2}\)， \[\begin{align} P\{ B(t) \geq x \} =& \frac{1}{2} P\{ T_x \leq t \}, \\ P(T_x \leq t) =& 2 P(B(t) \geq x) \\ =& 2 P(\sqrt{t} Z \geq x) \\ =& 2 \left[ 1 - \Phi(\frac{x}{\sqrt{t}}) \right] \\ =& 2 \Phi(-\frac{x}{\sqrt{t}}) \\ =& 2 \int_{\frac{x}{\sqrt{t}}}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{v^2}{2}} \,dv , x > 0, t > 0 . \tag{7.11} \end{align}\]

对\(x < 0\)，同理可得以上结果。 于是\(T_x\)的分布函数为 \[\begin{aligned} P(T_x \leq t) =& 2 [1 - \Phi(\frac{|x|}{\sqrt{t}})] \\ =& 2 \int_{\frac{|x|}{\sqrt{t}}}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{v^2}{2}} \,dv , \ t > 0 . \end{aligned}\]

由此可见 \[ P \{ T_x < \infty \} = \lim_{t \to \infty} P \{ T_x \leq t \} = 1 . \]

由于时刻0从点\(x_0\)出发的布朗运动等同于\(B(t) + x_0\)， 所以时刻0从点\(x_0\)出发的布朗运动首达\(x\)的时间等同于\(T_{x-x_0}\)， 也是以概率1有限的。

求导得\(T_x\)的密度函数为 \[\begin{aligned} f_{T_x}(t) =& |x| t^{-\frac{3}{2}} \phi(-\frac{|x|}{\sqrt{t}}) \\ =& \frac{|x|}{t \,\sqrt{2\pi t}} e^{-\frac{x^2}{2t}} , \ t > 0 . \end{aligned}\]

7.8.2.3给出了\(T_x\)的如下的Laplace变换公式(类似于矩母函数)： \[\begin{aligned} E e^{-\alpha T_x} = e^{-|x| \sqrt{2\alpha}}, \ \forall \alpha > 0. \end{aligned}\]

下面证明\(E T_x = +\infty\)。事实上， \[\begin{aligned} E(T_x) =& \int_0^\infty P(T_x > 0) \,dt \\ =& \int_0^\infty \left\{ 1 - 2 \left[1 - \Phi\left(\frac{|x|}{\sqrt{t}}\right)\right] \right\} \,dt \\ =& \int_0^\infty \left\{ 2 \Phi\left(\frac{|x|}{\sqrt{t}}\right) - 1 \right\} \,dt \\ =& \int_0^\infty \left\{ 2 \Phi\left(\frac{|x|}{\sqrt{t}}\right) - 2 \Phi(0) \right\} \,dt \\ =& 2 \int_0^\infty \int_0^{\frac{|x|}{\sqrt{t}}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{u^2}{2}} \,du \,dt\\ =& 2 \int_0^\infty \int_0^{\frac{x^2}{u^2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{u^2}{2}} \,dt \,du \\ =& \frac{2 x^2}{\sqrt{2\pi}} \int_0^\infty \frac{1}{u^2} e^{-\frac{u^2}{2}} \,du \\ \geq& \frac{2 x^2 e^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{2\pi}} \int_0^1 \frac{1}{u^2} \,du = +\infty . \end{aligned}\]

因此，\(T_x\)虽然几乎必然是有限的， 但有无穷的期望. 直观地看， 就是布朗运动以概率1会击中\(x\)， 但它的平均时间是无穷的. 性质\(P\{T_x < \infty \} = 1\)称为布朗运动的常返性. 由于始于点\(a\)的布朗运动与\(\{ a + B(t) \}\)是相同的， 这里\(\{ B(t) \}\)是始于0的布朗运动，所以 \[ P_a \{ T_x < \infty \} = P_0 \{T_{x-a} < \infty \} = 1 , \] 即布朗运动从任意点出发，击中\(x\)的概率都是1.

另一个有趣的随机变量是布朗运动在\([0,t]\)中达到的最大值 \[ M(t) = \max_{0 \leq u \leq t} B(u) . \] 由轨道连续性， \(M(t)\)有定义且取有限值。对\(x > 0\)， 事件\(M(t) \geq x\)等价于\(T_x \leq t\)。 事实上，当\(M(t) \geq x\)， 由轨道连续性以及\(B(0)=0\)， \([0,t]\)中一定存在某个\(t'\)使得\(B(t')=x\)，所以\(T_x \leq t\)； 另一方面， 如果\(T_x \leq t\)， 则\([0,t]\)中的某个\(B(t')=x\)， 所以\(M(t) \geq x\)。于是 \[\begin{aligned} P(M(t) \geq x) =& P(T_x \leq t) = 2 \left[1 - \Phi\left( \frac{x}{\sqrt{t}} \right) \right] . \end{aligned}\] 令\(x \to 0\)得\(P(M(t) \geq 0) = 1\)。

求导得\(M(t)\)的密度函数为 \[\begin{aligned} f_{M(t)}(x) = \frac{2}{\sqrt{t}} \phi(-\frac{x}{\sqrt{t}}) = \frac{2}{\sqrt{2 \pi t}} e^{-\frac{x^2}{2 t}}, \ x > 0 . \end{aligned}\]

易见\(M(t)\)与\(|B(t)|\)同分布。

命题7.3 \(E[M^2(t)] = t\).

证明: \[\begin{aligned} E[M^2(t)] =& \int_0^\infty \frac{2 x^2}{\sqrt{2\pi t}} e^{-\frac{x^2}{2 t}} \,dt \\ =& \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{\sqrt{2\pi t}} e^{-\frac{x^2}{2 t}} \,dt \\ =& t . \end{aligned}\] 最后的等式是对\(\text{N}(0,t)\)分布求方差。

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考虑最小值的分布， 类似可得 \[ m(t) = \min_{0 \leq u \leq t} B(u) , \] 的分布函数为 \[ P(m(t) \leq x) = 2 \Phi\left( -\frac{|x|}{\sqrt{t}} \right), \ x < 0 . \] 可得\(P(m(t) \leq 0) = 1\)， 以及\(|m(t)|=-m(t)\)与\(M(t)\)同分布。

令 \[ H(t) = \max_{0 \leq u \leq t} |B(u)| . \] 关于绝对值的最大值暂未得到简单的分布， 但是可以有控制 \[ H(t) \leq M(t) + |m(t)| , \] 且\(E[H^2(t)] \leq 4t\)。

如果时刻\(\tau\)使得\(B(\tau) = 0\)， 则称\(\tau\)为布朗运动的零点. 我们有下述定理.

定理7.11 设\(\{B^x(t)\}\)为始于\(x\)的布朗运动， 则\(B^x(t)\)在\((0,t)\)中至少有一个零点的概率为 \[ \frac{|x|}{\sqrt{2\pi}} \int_0^t u^{-\frac{3}{2}} e^{-\frac{x^2}{2u}} \,du . \]

证明： 如果\(x0\)的情况的证明类似， 结果相同。

利用定理7.11可以证明如下的定理。

定理7.12 \(B(t)\)在\(t \in (a,b)\)中至少有一个零点的概率为 \[ \frac{2}{\pi} \arccos\sqrt{\frac{a}{b}} . \]

证明： 记 \[ h(x) = P\{ B \text{在} (a,b) \text{中至少有一个零点} \;|\; B(a) = x \} , \] 由对称性可知\(h(-x) = h(x)\)。 由马氏性， \[\begin{aligned} h(x) =& P\{ B^x \text{在}(0,b-a) \text{中至少有一个零点} \} \\ =& \frac{|x|}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{b-a} u^{-\frac{3}{2}} e^{-\frac{x^2}{2u}} \,du . \end{aligned}\]

由全期望公式 \[\begin{aligned} & P\{ B \text{在} (a,b) \text{中至少有一个零点} \} \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} P \{ B \text{中至少有一个零点} \;|\; B(a) = x \} f_{B(a)}(x) \,dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} h(x) \frac{1}{\sqrt{2 \pi a}} e^{-\frac{x^2}{2 a}} \,dx \\ =& \frac{2}{\sqrt{2 \pi a}} \int_0^{\infty} h(x) e^{-\frac{x^2}{2a}}dx \\ =& \frac{2}{\sqrt{2 \pi a}} \int_0^{\infty} \frac{x}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2a}} \int_0^{b-a} u^{-\frac{3}{2}} e^{-\frac{x^2}{2u}} \,du \,dx \\ =& \frac{1}{\pi \sqrt{a}} \int_0^{b-a} u^{-\frac{3}{2}} \int_0^{\infty} x e^{-x^2 (\frac{1}{2u} + \frac{1}{2a})} \,dx \,du \\ =& \frac{1}{\pi \sqrt{a}} \int_0^{b-a} u^{-\frac{3}{2}} \frac{au}{a+u} \,du = \frac{\sqrt{a}}{\pi} \int_0^{b-a} \frac{u^{-\frac{1}{2}}}{a+u} \,du \\ =& \frac{2\sqrt{a}}{\pi} \int_0^{b-a} \frac{d \sqrt{u}}{a+u} = \frac{2\sqrt{a}}{\pi} \int_0^{\sqrt{b-a}} \frac{d v}{a + v^2} \\ =& \frac{2\sqrt{a}}{\pi} \int_0^{\frac{\sqrt{b-a}}{\sqrt{a}}} \frac{\sqrt{a} dw}{a(1 + w^2)} = \frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\sqrt{b-a}}{\sqrt{a}}} \frac{ dw}{1 + w^2} \\ =& \frac{2}{\pi} \arctan\frac{\sqrt{b-a}}{\sqrt{a}} = \frac{2}{\pi} \arccos \sqrt{\frac{a}{b}} . \end{aligned}\] 这里利用了\(\int \frac{1}{1 + w^2} dw = \arctan w\), 以及若\(y = \arctan \sqrt{\frac{b-a}{a}}\)， 则\(1 + \tan y^2 = \frac{1}{\cos^2 y} = \frac{b}{a}\)从而 \(y = \arccos \sqrt{\frac{a}{b}}\)。

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于是，我们得到布朗运动的反正弦律.

定理7.13 设\(\{B(t), t \geq 0\}\)是布朗运动，则 \[ P\{ B(t) \text{在} (a,b) \text{中没有零点} \} = \frac{2}{\pi} \arcsin \sqrt{\frac{a}{b}} . \]

下面介绍布朗运动在时刻\(t\)之前最后一个零点以及在\(t\)之后的第一个零点的分布情况. 令 \[\begin{aligned} \zeta_t =& \sup\{ s \leq t, B(s) = 0 \} =t\text{之前最后一个零点}, \\ \beta_t =& \inf\{ s \geq t, B(s) = 0 \} =t\text{之后第一个零点}, \end{aligned}\] 注意\(\beta_t\)是一个停时， 而\(\zeta_t\)不是停时(请读者验证). 由反正弦律有 \[\begin{aligned} & P \{ \zeta_t \leq x \} = P \{B \text{在} (x,t)\text{中没有零点} \} = \frac{2}{\pi} \arcsin \sqrt{\frac{x}{t}} , \\ & P \{ \beta_t \geq y \} = P \{B \text{在} (t,y) \text{中没有零点} \} = \frac{2}{\pi} \arcsin \sqrt{\frac{t}{y}} , \\ & P \{ \zeta_t \leq x, \beta_t \geq y \} = P \{ B \text{在} (x,y) \text{中没有零点} \} = \frac{2}{\pi} \arcsin\sqrt{\frac{x}{y}} . \end{aligned}\]

由布朗运动，我们可以定义另一类在数理金融中经常用到的过程——Brown桥过程.

定义7.10 设\(\{B(t), t \geq 0 \}\)是布朗运动. 令 \[ B^{*}(t) = B(t) - t B(1), \ 0 \leq t \leq 1, \] 则称随机过程\(\{B^{*}(t), 0 \leq t \leq 1 \}\)为布朗桥.

因为布朗运动是高斯过程， 所以布朗桥也是高斯过程， 其\(n\)维分布由均值函数和方差函数完全确定， \(\forall 0 \leq s \leq t \leq 1\)，有 \[\begin{aligned} E[B^{*}(t)] =& 0 ,\\ E[B^{*}(s) B^{*}(t)] =& E[(B(s)-sB(1)) (B(t)-tB(1))] \\ =& E[B(s) B(t) - tB(s) B(1) - s B(t) B(1) + t s B^2(1)] \\ =& s - ts - ts + ts = s(1-t) \\ =& \min(s, t) [1 - \max(s, t)] . \end{aligned}\]

此外，由定义可知\(B^{*}(0) = B^{*}(1) = 0\)， 即此过程的起始点是固定的， 就象桥一样， 这就是布朗桥名称的由来.

布朗桥也可以用来给出条件分布。 设\(0 \leq a < b < c\)， 则\((B(a), B(c), B(b))\)服从多元正态分布 \[ N \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a & a & a \\ a & c & b \\ a & b & b \end{pmatrix} \right) . \] 在\(B(a)=x\), \(B(c)=z\)条件下， 由联合正态分布性质可知\(B(b)\)服从条件正态分布， 条件均值为 \[\begin{aligned} & E(B(b) | (B(a), B(c)) = (x, z)) \\ =& 0 + (a, b) \begin{pmatrix} a & a \\ a & c \end{pmatrix}^{-1} (x, z)^T \\ =& \frac{c-b}{c-a} x + \frac{b-a}{c-a} z . \end{aligned}\] 条件方差为 \[\begin{aligned} & \text{Var}(B(b) | (B(a), B(c)) = (x, z)) \\ =& b - (a, b) \begin{pmatrix} a & a \\ a & c \end{pmatrix}^{-1} (a, b)^T \\ =& \frac{b(a+c-b) - ac}{c - a} . \end{aligned}\] 如果\(b = \frac{a+c}{2}\)， 则条件分布为\(\text{N}(\frac{x+z}{2}, \frac{c-a}{4})\)。 如果\(a=0\), \(b=\frac{1}{2}\), \(c=1\)， 则条件分布为\(\text{N}(\frac{x+z}{2}, \frac{1}{4})\)。

利用上述条件分布，可以用来生成\([0,1]\)中的布朗运动的模拟轨道。 先抽取\(B(0)\), \(B(1)\)， 利用条件分布抽取\(B(\frac{1}{2})\)， 然后抽取\(B(\frac{1}{4})\)和\(\frac{3}{4}\)， 然后抽取\(B(\frac{1}{8})\), \(B(\frac{3}{8})\), \(B(\frac{5}{8})\), \(B(\frac{7}{8})\)， 如此重复可以得到抽样间隔越来越密的布朗运动轨道的离散化值。

设\(T_x\)为布朗运动\(\{ B(t) \}\)首次击中\(x\)的时刻, \(x > 0\). 令 \[ Z(t) = \begin{cases} B(t) & \text{若} t < T_x, \\ x & \text{若} t \geq T_x . \end{cases} \] 则\(\{Z(t), t \geq 0 \}\)是击中\(x\)后， 永远停留在那里的布朗运动. \(\forall t > 0\)， 随机变量\(Z(t)\)的分布有离散和连续两个部分. 离散部分的分布是 \[\begin{aligned} P \{ Z(t) = x \} =& P \{ T_x \leq t \} \\ =& \frac{2}{\sqrt{2\pi t}} \int_x^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2t}} \,dy . \end{aligned}\]

下面求连续部分的分布. \(\forall y < x\), \[\begin{align} P \{ Z(t) \leq y \} =& P \{ B(t) \leq y, \max_{0 \leq s \leq t} B(s) \leq x \} \\ =& P \{ B(t) \leq y \} - P \{ B(t) \leq y, \max_{0 \leq s \leq t} B(s) > x \} \tag{7.12} \end{align}\]

现计算(7.12)式中的最后一项， 由条件概率公式得 \[\begin{align} & P \{ B(t) \leq y, \max_{0 \leq s \leq t} B(s) > x \} \\ =& P \{ B(t) \leq y | \max_{0 \leq s \leq t} B(s) > x \} P \{ \max_{0 \leq s \leq t} B(s) > x \} \tag{7.13} \end{align}\] 由于事件\(\max_{0 \leq s \leq t} B(s) > x\)等价于事件\(T_x < t\)及布朗运动的对称性可知： \(B(t)\)在时刻\(T_x( x \} \\ =& P \{ B(t) \geq 2x-y | \max_{0 \leq s \leq t} B(s) >x \} . \tag{7.14} \end{align}\] 从(7.13)和(7.14)式得 \[\begin{aligned} & P \{ B(t) \leq y, \max_{0 \leq s \leq t} B(s) > x \} \\ =& P \{ B(t) \geq 2x-y, \max_{0 \leq s \leq t} B(s) > x \} \\ =& P \{ B(t) \geq 2x-y \} \quad (\text{因为} y < x) . \end{aligned}\] 由式(7.12)， 有 \[\begin{aligned} P \{ Z(t) \leq y \} =& P \{ B(t) \leq y \} - P \{ B(t) \geq 2x-y \} \\ =& P \{ B(t) \leq y \} - P \{ B(t) \leq y-2x \} \\ =& \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \int_{y-2x}^y e^{-\frac{u^2}{2t}} \, du. \end{aligned}\]

由\(Y(t) = |B(t)|\), \(t \geq 0\)定义的过程\(\{Y(t), t \geq 0\}\)称为在原点反射的布朗运动. 它的概率分布为 \[\begin{aligned} P \{ Y(t) \leq y \} =& P \{ B(t) \leq y \} - P \{ B(t) \leq -y \} \\ =& 2 P \{ B(t) \leq y \} - 1 \\ =& 2 \Phi(\frac{y}{\sqrt{t}}) - 1 \\ =& \frac{2}{\sqrt{2\pi t}} \int_{-\infty}^y e^{-\frac{u^2}{2t}} \,du - 1, \ y > 0 . \end{aligned}\]

由\(X(t) = e^{B(t)}\), \(t \geq 0\)定义的过程\(\{ X(t), t \geq 0 \}\)称为几何布朗运动. 由于\(B(t)\)的矩母函数为\(E[e^{s B(t)}] = e^{t s^2/2}\)， 所以几何布朗运动的均值函数与方差函数分别为 \[\begin{aligned} E[X(t)] =& E[e^{B(t)}] = e^{t/2}; \\ \text{Var}[X(t)] =& E[X^2(t)] - (E[X(t)])^2 \\ =& E[e^{2 B(t)}] - e^t \\ =& e^{2t} - e^t . \end{aligned}\]

在金融市场中， 人们经常假定股票的价格按照几何布朗运动变化， 在下面的例子中我们如此假定.

例7.7 (股票期权的价值) 设某人拥有某种股票的交割时刻为\(T\)、交割价格为\(K\)的欧式看涨期权， 即他(她)具有在时刻\(T\)以固定的价格\(K\)购买一股这种股票的权力. 假设这种股票目前的价格为\(y\)， 并按照几何布朗运动变化， 我们计算拥有这个期权的平均价值.

设\(X(T)\)表示时刻\(T\)的股票价格， 若\(X(T)\)高于\(K\)时，期权将被实施， 因此该期权在时刻\(T\)的平均价值应为 \[\begin{aligned} E[\max(X(T) - K, 0)] =& \int_0^{\infty} P \{ X(T) - K > u \} \,du \\ =& \int_0^{\infty} P \{ y e^{B(T)} - K > u \} \,du \\ =& \int_0^{\infty} P \{ B(T) > \log \frac{K+u}{y} \} \,du \\ =& \frac{1}{\sqrt{2\pi T}} \int_0^{\infty} \int_{\log[(K+u)/y]}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2T}} \,dx \, du . \end{aligned}\]

几何布朗运动的边缘分布为对数正态分布。 令\(X \sim \text{N}(\mu, \sigma^2)\)， 则\(Y = e^X\)服从对数正态分布\(\text{LN}(\mu, \sigma^2)\)， 其期望和方差为 \[\begin{aligned} E(Y) =& e^{ \mu + \frac{1}{2} \sigma^2 }, \\ \text{Var}(Y) =& e^{ 2\mu + \sigma^2 } (e^{\sigma^2} - 1) . \end{aligned}\]

设\(\{ B(t), t \geq 0 \}\)为标准布朗运动， \(\mu \in \mathbb R\), \(\sigma > 0\), \[\begin{aligned} X(t) =& X(0) + \mu t + \sigma B(t), \ t \geq 0, \end{aligned}\] 称\(\{ X(t), t \geq 0 \}\)为有漂移的布朗运动, 漂移系数为\(\mu\)， 方差参数为\(\sigma^2\)， 记为BM(\(\mu, \sigma^2\))。

等价地， 若随机过程\(\{ X(t), t \geq 0 \}\)为平稳独立增量过程， \(X(t) - X(0) \sim \text{N}(\mu t, \sigma^2 t)\)， 则称\(\{ X(t), t \geq 0 \}\)为漂移布朗运动。

定理7.14 设随机过程\(\{ X(t), t \geq 0 \}\)满足：

(1) \(\forall 0 < t_1 < \dots < t_n\), \(X(0), X(t_1) - X(0), \dots, X(t_n) - X(t_{n-1})\)相互独立；

(2) \(\forall s \geq 0\), \(t \geq 0\)， \(X(t)-X(0)\)与\(X(t+s)-X(s)\)同分布（没有要求正态分布）；

(3) 对于每一轨道\(\omega \in \Omega\)， \(X(t,\omega)\)是\(t \in [0, \infty)\)的连续函数，

(4) \(\forall t \geq 0\)，\(X(t) - X(0)\)分布关于0对称。

则\(\{X(t)\}\)是布朗运动（不要求从0出发）， 或者\(X(t)-X(0)\)恒等于0。 如果仅要求(1)-(3)成立， 则必存在标准布朗运动\(\{B(t)\}\)使得 \[ X(t) = X(0) + \mu t + \sigma B(t) , \ t \geq 0 . \] 即这时\(\{X(t)\}\)为漂移布朗运动。

见(刘勇 2022)第四章定理4.1和推论4.1。 注意定理中条件(1)-(4)仅要求了独立平稳增量、轨道连续和\(X(t)-X(0)\)分布关于0对称， 没有涉及到分布正态， 而结果的布朗运动和漂移布朗运动都是高斯过程。

定义7.11 设\(B^1(t), B^2(t), \cdots, B^d(t)\)是相互独立的标准布朗运动， 则称\(\boldsymbol{B}(t) = (B^1(t), B^2(t), \dots, B^d(t))\)为\(d\)维布朗运动。

定理7.15 设\(\{\boldsymbol X(t), t \geq 0\}\)为取值于\(\mathbb R^d\)的随机过程， 若：

(1) \(\forall 0 < t_1 < \dots < t_n\), \(\boldsymbol X(0), \boldsymbol X(t_1) - \boldsymbol X(0), \dots, \boldsymbol X(t_n) - \boldsymbol X(t_{n-1})\)相互独立；

(2) \(\forall s \geq 0\), \(t \geq 0\)， \(\boldsymbol X(t) - \boldsymbol X(0)\)与\(\boldsymbol X(t+s) - \boldsymbol X(s)\)同分布（没有要求正态分布）；

(3) 对于每一轨道\(\omega \in \Omega\)， \(\boldsymbol X(t,\omega)\)是\(t \in [0, \infty)\)的连续函数。

则存在\(r\)(\(r \leq d\))维标准布朗运动\(\{\boldsymbol B(t)\}\)， 使得 \[ X(t) = X(0) + \boldsymbol\mu t + A \boldsymbol B(t), \ t \geq 0 . \] 即\(\{\boldsymbol X(t)\}\)是多维漂移布朗运动。 其中\(A\)为\(d \times r\)矩阵， \(\boldsymbol \mu\)为\(n \times 1\)常数向量。

见(刘勇 2022)第四章推论4.2。

如同一维布朗运动， \(d\)维布朗运动具有如下转移概率密度： \[ \frac{1}{(2\pi t)^{d/2}} \exp \{ -\frac{1}{2t} \sum_{i=1}^d (y_i - x_i)^2 \}, \ x, y \in \mathbb{R}^d . \]

类似于一维布朗运动，对于\(d\)维布朗运动有如下定理：

定理7.16 设\(\boldsymbol{B}(t) = (B^1(t), B^2(t), \dots, B^d(t))\)为\(d\)维布朗运动， 则有

是否有概率空间\((\Omega, \mathscr F, P)\)使得其中可以构造标准布朗运动\(\{B(t), t \geq 0 \}\)？ (Karatzas and Shreve 1998)中证明了三种构造方法。

取\(\Omega = \mathbb R^{[0, \infty)}\)， 其中每个元素是一条从\([0, \infty)\)到\(\mathbb R\)的映射的轨道, 表示为\((\omega(t), t \geq 0)\)。 取用\(\mathbb R^{[0, \infty)}\)的所有柱集构造的最小\(\sigma\)代数为\(\mathscr F = \mathscr B(\mathbb R^{[0, \infty)})\)。 这里柱集是指 \[ C = \{ \omega \in \mathbb R^{[0, \infty)}: (\omega(t_1), \dots, \omega(t_n)) \in B, B \in \mathscr B(\mathbb R^n) \} . \] 存在概率测度使得 \[ X(t,\omega) = \omega(t) \] 具有标准布朗运动的有限维分布族。 只要再满足轨道连续性。 存在\(X(t)\)的修改\(Y(t)\)， 使得\(Y(t)\)轨道连续。 在闭区间上在有理数处\(X(t)\)和\(Y(t)\)是重合的， 由\(Y(t)\)的连续性， \(Y(t)\)的任意有限维分布与\(X(t)\)的相应分布相同， 即\(\{Y(t)\}\)为布朗运动。

分别构造\([0,1]\), \([1,2]\)，……上的标准布朗运动进行累加。 构造\([0,1]\)上的布朗运动时， 利用布朗桥的思想进行插值。 插值到极限时， 可以证明插值结果的轨道在\([0,1]\)一致地逼近到一个连续轨道。 插值步骤是：给定\(B(0)=0\), \(B(1) \sim \text{N}(0,1)\)的值后， \(B(\frac{1}{2})\)条件分布正态，可以产生相应的随机变量， 分布均值为\(B(0)\)和\(B(1)\)的平均值； 给定\(B(0)\)和\(B(\frac{1}{2})\)， \(B(\frac{1}{4})\)条件分布正态， 可以产生相应的随机变量； \(B(\frac{3}{4})\)在\(B(\frac{1}{2})\)和\(B(1)\)给定后可以产生满足条件分布的随机变量。 如此可以不断进行加细一倍的插值， 每一层插值看作对目标轨道的一个逼近。

取\(\Omega = C[0, \infty)\)， 即\([0, \infty)\)上所有连续函数构成的线性空间。 在其中定义距离 \[ \rho(\omega^{(1)}, \omega^{(2)}) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \max_{t \in [0, n]}(|\omega^{(1)}(t) - \omega^{(2)}(t))| \wedge 1) . \] \((C[0, \infty), \rho)\)构成了完备可分距离空间。 对\(C[0, \infty)\)， 定义\(\mathscr B(C[0, \infty))\)为包含\(C[0, \infty)\)中所有开集的最小\(\sigma\)代数， 等价于定义为包含\(C[0, \infty)\)所有柱集的最小\(\sigma\)代数。 轨道连续的随机过程\(\{X(t), t \geq 0 \}\)可以看成是取值于\((C[0, \infty), \mathscr B(C[0, \infty)))\)的随机元。 用随机游动进行时间和空间上的伸缩， 当时间间隔趋于0时， 由中心极限定理可得极限的有限维分布与布朗运动相同， 这里用了胎紧(tight)条件。 因为极限是在连续函数空间中， 所以极限是轨道连续的。 用来逼近的随机游动弱收敛到最终的布朗运动， 构造了布朗运动的概率空间\((C[0, \infty), \mathscr B(C[0, \infty)), P_*)\)称为布朗运动的经典(canonical)概率空间， 使得\(B(t,\omega) = \omega(t)\)为布朗运动的概率测度\(P_*\)称为维纳(Wiener)测度。

这是Shrive(2004)第二卷习题3.7。

设\(\{ B(t), t \geq 0 \}\)为标准布朗运动， \(m>0\), \(\mu \in \mathbb R\), \(\sigma > 0\), \[\begin{aligned} X(t) =& \mu t + \sigma B(t), \ t \geq 0, \\ \tau_m =& \inf \{ t \geq 0: X(t) = m \} , \\ Z(t) =& \exp\left\{ \sigma X(t) - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) t \right\}, \ t \geq 0 . \end{aligned}\]

下面逐步讨论\(\tau_m\)的性质。

来证明\(\{ Z(t), t \geq 0 \}\)是鞅。

注意 \[ Z(t) = \exp\left\{ \sigma \mu t + \sigma B(t) - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) t \right\} = \exp\left\{ \sigma B(t) - \frac{1}{2} \sigma^2 t \right\} . \]

\(Z(t)\)服从对数正态分布所以一阶矩有限。 令\(\mathscr F(t) = \sigma(\{ B(s): 0 \leq s \leq t \})\)。

对\(0 \leq s < t\)， \[\begin{aligned} E[Z(t) | \mathscr F(s)] =& E \left[ \exp\left\{ \sigma B(t) - \frac{1}{2} \sigma^2 t \right\} | \mathscr F(s) \right] \\ =& \exp\left\{- \frac{1}{2} \sigma^2 t + \sigma B(s) \right\} E \left[ \exp\{ \sigma(B(t) - B(s)) \} \right] \\ =& \exp\left\{- \frac{1}{2} \sigma^2 t + \sigma B(s) \right\} \exp\{ \frac{1}{2} \sigma^2 (t-s) \} \\ =& \exp\left\{ \sigma B(s) - \frac{1}{2} \sigma^2 s \right\} = X(s) . \end{aligned}\]

来证明 \[ E\left[ \exp \left\{ \sigma X(t \wedge \tau_m) - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) (t \wedge \tau_m) \right\} \right] = 1 . \]

因为\(\tau_m\)是停时， 所以\(t \wedge \tau_m\)是有界停时， 由停时定理可知\(E Z(t \wedge \tau_m) = EZ(0)=1\)。

设\(\mu \geq 0\)， 来证明对\(\sigma > 0\)有 \[\begin{aligned} E \left[ \exp \left\{ \sigma m - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) \tau_m \right\} I_{\{ \tau_m < \infty \}} \right] = 1 . \end{aligned}\] 由此可证明\(P(\tau_m < \infty)=1\)， 以及如下的Laplace变换公式： \[ E e^{-\alpha \tau_m} = e^{m \mu - m \sqrt{2 \alpha + \mu^2}}, \ \forall \alpha > 0 . \]

当\(\tau_m < \infty\)时， \[\begin{aligned} \lim_{t\to+\infty} \exp\{ \sigma X(t \wedge \tau_m) \} =& \exp\{ \sigma X(\tau_m) \} = e^{\sigma m} , \\ \lim_{t\to+\infty} \exp\{ -(\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2)(t \wedge \tau_m) \} =& \exp\{ -(\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) \tau_m \} . \end{aligned}\]

当\(\tau = \infty\)时，\(X(t) < m\), \[\begin{aligned} \exp\{ \sigma X(t \wedge \tau_m) \} \leq& e^{\sigma m}, \\ \lim_{t \to +\infty} \exp\{ -(\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2)(t \wedge \tau_m) \} =& \lim_{t \to +\infty} \exp\{ -(\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) t \} = 0 \end{aligned}\] 总有\(e^{\sigma X(t)} \leq e^{\sigma m}\)和\(\exp\{ -(\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2)(t \wedge \tau_m) \leq 1\)。

于是 \[ \exp \left\{ \sigma X(t \wedge \tau_m) - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) (t \wedge \tau_m) \right\} \leq e^{\sigma m}, \ \forall t \geq 0, \] 且 \[\begin{aligned} & \lim_{t\to +\infty} \exp \left\{ \sigma X(t \wedge \tau_m) - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) (t \wedge \tau_m) \right\} \\ =& \lim_{t\to +\infty} \exp \left\{ \sigma X(t \wedge \tau_m) - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) (t \wedge \tau_m) \right\} I_{\{ \tau_m < \infty \}} \\ & + \lim_{t\to +\infty} \exp \left\{ \sigma X(t \wedge \tau_m) - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) (t \wedge \tau_m) \right\} I_{\{ \tau_m = \infty \}} \\ =& \exp\left\{ \sigma m - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) \tau_m \right\} I_{\{ \tau_m < \infty \}} . \end{aligned}\]

由控制收敛定理可知 \[\begin{aligned} 1 =& \lim_{t \to +\infty} E \left[ \exp \left\{ \sigma X(t \wedge \tau_m) - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) (t \wedge \tau_m) \right\} \right] \\ =& E \left[ \exp\left\{ \sigma m - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) \tau_m \right\} I_{\{ \tau_m < \infty \}} \right] . \end{aligned} \tag{*} \]

当\(0 < \sigma \leq 1\)时 \[ \exp\left\{ \sigma m - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) \tau_m \right\} I_{\{ \tau_m < \infty \}} \leq e^{\sigma m} \leq e^m, \] 由控制收敛定理，在(*)中令\(\sigma\to 0\)，得 \[ E I_{\{ \tau_m < \infty \}} = 1, \] 即\(P(\tau_m < \infty) = 1\)。

于是， \[\begin{aligned} \exp\left\{ \sigma m - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) \tau_m \right\} I_{\{ \tau_m < \infty \}} =& \exp\left\{ \sigma m - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) \tau_m \right\} , \ \text{a.s.}, \\ E \exp\left\{ \sigma m - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) \tau_m \right\} =& 1 . \end{aligned}\]

令\(\alpha = \sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2 > 0\)， 反解\(\sigma > 0\)， 得 \[ \sigma = \sqrt{2\alpha + \mu^2} - \mu, \] 于是 \[\begin{aligned} E e^{-\alpha \tau_m} =& e^{-\sigma m} = e^{m \mu - m \sqrt{2\alpha + \mu^2}}, \ \forall \alpha > 0 . \end{aligned}\]

如果\(\mu>0\)， 来证明\(E \tau_m < \infty\)， 给出\(E \tau_m\)的表达式。

由 \[ E e^{-\alpha \tau_m} = e^{m \mu - m \sqrt{2\alpha + \mu^2}} \] 在两边关于\(\alpha\)求导得 \[ - E[\tau_m e^{-\alpha\tau_m}] = e^{m \mu - m \sqrt{2\alpha + \mu^2}} \frac{-m}{2\alpha + \mu^2}, \] 令\(\alpha \to 0\)得 \[ E(\tau_m) = \frac{m}{\mu} \in (0, \infty) . \]

当\(\mu < 0\)时， 来证明对\(\sigma > -2\mu\)， \[ E \left[ \exp\left\{ \sigma m - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) \tau_m \right\} I_{\{ \tau_m < \infty \}} \right] = 1 . \] 据此证明\(P(\tau_m < \infty) = e^{-2 m |\mu|} < 1\)， 以及Laplace变换公式 \[ E e^{-\alpha \tau_m} = e^{m \mu - m \sqrt{2\alpha + \mu^2}}, \ \forall \alpha > 0 . \]

考虑7.8.2.2的结论， \[ E\left[ \exp \left\{ \sigma X(t \wedge \tau_m) - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) (t \wedge \tau_m) \right\} \right] = 1 . \]

若\(\mu < 0\)， 则当且仅当\(\sigma > -2\mu\)时\(\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2>0\)。 这时，与(iii)的证明类似地可以证明 \[ E \left[ \exp\left\{ \sigma m - (\sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2) \tau_m \right\} I_{\{ \tau_m < \infty \}} \right] = 1 . \tag{**} \]

在(**)式中令\(\sigma \downarrow -2\mu\)得 \[ P(\tau_m < \infty) = e^{-2 m |\mu|} \in (0, \infty) . \]

在(**)式中令\(\alpha = \sigma \mu + \frac{1}{2} \sigma^2 > 0\)， 则\(\sigma = -m + \sqrt{2\alpha + \mu^2} > 0\)， 于是 \[\begin{aligned} E\left[ e^{-\alpha \tau_m} I_{\{\tau_m < \infty \}} \right] =& e^{m\mu - m \sqrt{2\alpha + \mu^2}}, \ \forall \alpha > 0 , \end{aligned}\] 而 \[\begin{aligned} e^{-\alpha \tau_m} =& e^{-\alpha \tau_m} I_{\{\tau_m < \infty \}} + e^{-\alpha \tau_m} I_{\{\tau_m = \infty \}} \\ =& e^{-\alpha \tau_m} I_{\{\tau_m < \infty \}} + 0 \cdot I_{\{\tau_m = \infty \}} \\ =& e^{-\alpha \tau_m} I_{\{\tau_m < \infty \}}, \end{aligned}\] 故 \[ E e^{-\alpha \tau_m} = e^{m \mu - m \sqrt{2\alpha + \mu^2}}, \ \forall \alpha > 0 . \]