【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p29

题型：已知某随机变量满足某分布，求对应的概率，期望，方差。

也是套公式： 例1： 设随机变量X~U[2,5]，求P{X>=4}、EX、DX。 套公式得： p { x ≥ 4 } = 1 3 E X = 7 2 D X = 3 4 p\{x\ge4\}=\frac{1}{3} \\EX=\frac{7}{2} \\ \\DX=\frac{3}{4} p{x≥4}=31​EX=27​DX=43​

例2： 设随机变量K在区间(1,6)上服从均匀分布，则方程x2+kx+1=0有实根的概率是__。

解： 4 5 \frac{4}{5} 54​

例3： 设二维随机变量(X,Y)在区域G={(x,y)|x≥0,y ≥0,x+y≤1}上服从均匀分布,求P{X+YX=2}=225​e−5

例3：某电话交换台每分钟接到的呼叫数X，服从参数为5的泊松分布，求在一分钟内呼叫数X不超过6次的概率。

解：

注意： P { X 已 经 怎 样 后 ， 还 能 继 续 怎 样 } = P { X 还 能 怎 样 } 即 P { 已 经 A ， 还 想 B } = P { B } P\{X已经怎样后，还能继续怎样\}=P\{X还能怎样\} \\即P\{已经A，还想B\}=P\{B\} P{X已经怎样后，还能继续怎样}=P{X还能怎样}即P{已经A，还想B}=P{B}

做个例题来练习一下套公式： 例1： 某种电子元件的使用寿命X (单位:小时)服从 λ = 1 2000 λ=\frac{1}{2000} λ=20001​的指数分布。求一个元件的正常使用时间在1000小时以下的概率。

解：

例1： 设随机变量 X ∼ G e ( 1 5 ) X\sim Ge(\frac{1}{5}) X∼Ge(51​)求P{X=2},EX、DX。

解： P { X = 2 } = 4 25 E X = 5 D X = 20 P\{X=2\}=\frac{4}{25} \\EX=5 \\DX=20 P{X=2}=254​EX=5DX=20