随机变量的分布与分位数概念

在质量工程师的培训中，我们经常询问学员以下图形是什么曲线，学员普遍能够回答是正态分布曲线，但进一步询问学员该曲线的纵轴f(x)表示什么，许多同学以为是概率值。其实这个曲线是正态分布概率密度曲线，f(x)是指随机变量X在观察值为x时的概率密度，如果随机变量X的单位为mm，则f(x)的单位为%/mm。曲线与X轴所围成的面积表示概率，该面积等于1，因为随机变量的所有可能取值（即：100%）都在X轴上。

以下是一个均值=10，标准差=0.5的正态分布概率密度曲线的例子，x=9.020的垂线与该分布的概率密度曲线和X轴所围成的左侧区域面积=0.025，该面积表示在随机变量X的总体分布中，有2.5%的值小于9.020，也就是说在总体分布中，随机变量X的取值小于9.020的概率为2.5%。同样，x=10.98的垂线与该分布的概率密度曲线和X轴所围成的右侧区域面积=0.025，该面积表示在随机变量X的总体分布中，有2.5%的值大于10.98，也就是说在总体分布中，随机变量X的取值大于10.98的概率为2.5%（也即是随机变量X的取值小于10.98的概率为97.5%）。在这个分布中，x=9.020的值被称为X的2.5%分位数（即：X2.5%=9.020），x=10.98的值被称为X的97.5%分位数（X97.5%=10.98）。随机变量X有95%（即：97.5% - 2.5%=95%）的取值落在9.020至10.98之间。每个分位数都是随机变量所有可能取值中的某个值。按照定义，若某个值Xp被称为随机变量X的p分位数，则随机变量X的取值小于Xp的概率为p。

以下是该正态分布对应的累积概率分布曲线，该曲线的纵轴表示的是累积概率，比如：x=9.020对应的累积概率为2.5%（即：随机变量X的取值小于x=9.020的概率为2.5%）, x=10对应的累积概率为50%（即：随机变量X的取值小于x=10的概率为50%）, x=10.98对应的累积概率为97.5%（即：随机变量X的取值小于x=10.98的概率为97.5%）。

分位数的概念很重要，我们在研究过程能力时，通常将被研究过程的特性的99.865%分位数与0.135%分位数的差值（即：被研究过程的特性其中间99.73%的区间范围）定义为过程变异（Process Variation）的宽度。建立SPC控制图，如：均值极差（Xbar-R）控制图时，也是分别以样本均值和样本极差的0.135%分位数和99.865%分位数作为下控制限（LCL）和上控制限（UCL）。

对于服从正态分布的过程的特性X，其0.135%分位数X0.135%=μ-3σ，99.865%分位数X99.865%=μ+ 3σ，因此，过程变异的宽度=6σ。

对于服从任意分布的随机变量，过程变异的宽度= X99.865% - X0.135%。以下是任意分布时的概率密度分布曲线的例子。随机变量取值X=xi时的概率P(X=xi）=△xf(x)，因为△x趋于0，因此在连续分布中，随机变量取值X=xi的概率P(X=xi）趋于0。