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自动控制理论根轨迹的学习过程中,经常会遇到几个问题: 为什么要用根轨迹法?为什么根轨迹法最终转化为调整增益K来反应系统的稳定性和动态性能?为什么根轨迹法用开环传递函数求解的却是闭环极点?盲目的借助于matlab进行根轨迹的计算和绘图,有时候往往不得其深意,可以从基础的定义去梳理我们为什要用根轨迹法,以及根轨迹能解决什么问题。只有明白了根轨迹的目的,我们才能将根轨迹法作为一种工具,真正做到为我们所用。闲话少叙,开始正题。 目录 根轨迹的定义幅值条件和相角条件根轨迹的绘制参考文献 根轨迹的定义自动控制系统的稳定性取决于特征根的值(闭环极点),系统的品质取决于闭环系统的极点和零点,如果系统具有可变的增益,那么闭环极点的位置将取决于环路增益K的选取,即可通过简单的增益调整将闭环极点移动到所需位置,那么设计的目的将转化为选择合适增益值的问题。当环路增益K变化时,闭环极点在S平面内的移动,即为根轨迹。 控制系统的闭环极点就是特征方程的根,求解高次特征方程的根是较为繁琐的,当增益K变化时,特征根也在变化,因此,直接求解闭环特征方程根进行控制系统的计算过于繁琐。1948年Evans根据反馈系统开环和闭环传递函数间的关系,提出一种由开环传递函数直接寻求闭环极点,而无需求解高阶系统特征根的方法,即根轨迹法。 所谓根轨迹,指系统的某个特定的参数,在特定范围内变化时,闭环极点在S平面内的运动轨迹。分为常规根轨迹和广义根轨迹法,常规根轨迹的参数变量为增益K,广义根轨迹参数变量为时间常数,反馈系数和开环零极点等。 幅值条件和相角条件假设控制系统,G为开环传递函数,H为负反馈传递函数,表示为: 接下来继续讨论根轨迹的绘制法则,参照根轨迹绘制的8大法则,可以绘制出满足需求的根轨迹曲线,借助于matlab工具对根轨迹的分析,工程人员已经无需将精力放在根轨迹的绘制工作上,从而把重点放在对于根轨迹的分析和理解上。 法则1:根轨迹的分支数,连续性和对称性。 对与确定的系统,根轨迹分支数等于开环极点数,根轨迹是一簇连续的曲线,又因为特征方程的根是实根或者是共轭复根,所以根轨迹关于实轴对称。 法则2:根轨迹的起点和终点。 根轨迹的起点为开环极点,终止于开环零点或无穷远处。 法则3:实轴上的根轨迹。 实轴开环零极点数之和为奇数,则实轴段为根轨迹的一部分。 法则4:根轨迹的渐近线。 法则5:根轨迹的分离点和汇合点。 法则6:根轨迹的起始角和终止角。 法则7:根轨迹与虚轴的交点。 法则8:根轨迹任一点对应的增益K。 借助于matlab绘制的根轨迹曲线,无须进行复杂的计算,即可求得法则4-8相关的参数,从而将重点放在对于根轨迹图的理解上。 参考文献《自动控制理论》第三版. 邹伯敏主编。 |
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