自动控制原理4.1：根轨迹法基本概念

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编. 《自动控制原理PDF版下载》

根轨迹简称根迹，是开环系统从某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在 s s s平面上变化的轨迹；

实际系统说明：

设控制系统如下图所示，其闭环传递函数为： Φ ( s ) = C ( s ) R ( s ) = 2 K s 2 + 2 s + 2 K \Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{2K}{s^2+2s+2K} Φ(s)=R(s)C(s)​=s2+2s+2K2K​

由控制系统结构图可得，特征方程为： s 2 + 2 s + 2 K = 0 s^2+2s+2K=0 s2+2s+2K=0 特征方程的根为： s 1 = − 1 + 1 − 2 K ， s 2 = − 1 − 1 − 2 K s_1=-1+\sqrt{1-2K}，s_2=-1-\sqrt{1-2K} s1​=−1+1−2K ​，s2​=−1−1−2K ​ 令开环增益 K K K从零变化到无穷，其根轨迹如下：

根轨迹与系统性能(以上实例作为说明)

稳定性

当开环增益从零变到无穷时，其根轨迹不会越过虚轴进入右半 s s s平面，该系统对于所有的 K K K值都是稳定的；分析高阶系统的根轨迹图时，根轨迹可能越过虚轴进入 s s s右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的 K K K值，即临界开环增益；

稳态性能

该系统开环系统在坐标原点只有一个极点，属于Ⅰ型系统，根轨迹上的 K K K值就是静态速度误差系数；如果给定系统的稳态误差要求，由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围；一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不是开环增益，而是所谓的根轨迹增益，需要进行换算；

动态性能

由图可知，当 0 < K < 0.5 0