锥，凸锥，二阶锥，二阶锥规划

优化理论稍微深入些，就会涉及到锥这个概念，甚至还有专门的锥优化这个研究领域。我一直很奇怪锥到底是什么，准备查阅相关资料，将自己的理解写到博客里面。

若向量空间为3维，满足定义的图像确实像一个锥，我猜这应该是它叫锥的原因。

根据定义，一个锥总是无界的。

显然上图也是一个凸锥。根据定义，凸锥也是一个凸集。 是否存在一个不是凸锥的锥？典型的例子： y = ∣ x ∣ y=|x| y=∣x∣ 一个点 （-2， 2）， 另一个点 （1，1）， 它们的和 （-1, 3）不在图形里。它的图形： 但是 y ≥ ∣ x ∣ y\geq |x| y≥∣x∣ 就是一个凸锥

一个 n 维范数锥是满足下列条件的集合： C = { ( x , t ) ∣ ∥ x ∥ ≤ t , x ∈ R n − 1 , t ∈ R } C=\left\{(x, t)\mid \|x\|\leq t, x\in\mathbb{R^{n-1}}, t\in\mathbb{R}\right\} C={(x,t)∣∥x∥≤t,x∈Rn−1,t∈R} 范数锥是一个凸锥。（范数锥里面的变量不仅包括 x x x，还包括 t t t.）

二阶锥规划是一种非常特殊的非线性优化，有非常高效的求解算法，非常有必要了解一下什么是二阶锥。所谓二阶是指锥里面用到的是二范数，下面的表达式表示一个二阶锥。 ∥ A x + b ∥ 2 ≤ c T x + d \|Ax+b\|_2\leq c^Tx+d ∥Ax+b∥2​≤cTx+d

二阶锥相当于对标准锥 C = { ( x , t ) ∣ ∥ x ∥ 2 ≤ t , t ≥ 0 } C=\{(x,t)\mid \|x\|_2\leq t, t\geq 0\} C={(x,t)∣∥x∥2​≤t,t≥0} 做了一个仿射变换： ∥ A x + b ∥ 2 ≤ c T x + d ⟺ ( A x + b , c T x + d ) ∈ C \|Ax+b\|_2\leq c^Tx+d\Longleftrightarrow\Big(Ax+b, c^Tx+d\Big)\in C ∥Ax+b∥2​≤cTx+d⟺(Ax+b,cTx+d)∈C 根据仿射变换的性质，变换后凹凸性不变，因此二阶锥仍然是一个凸锥。 注：对向量 x x x 仿射变换 (相当于将一个图形平移，或变大变小，或旋转，或倒影）： y = A x + b y=Ax+b y=Ax+b，其中 A x Ax Ax 表示对 x x x 变大或变小或旋转倒影，而 + b +b +b 表示平移。

很多问题都可以转化为二阶锥规划来求解，而二阶锥规划能够使用内点法很快求解。

二次规划可以转化为二阶锥规划。一个二次凸规划表达式： X T A X + q T x + c ≤ 0 X^TAX+q^Tx+c\leq 0 XTAX+qTx+c≤0 转化成下面的二阶锥： ∥ A 1 / 2 x + 1 2 A − 1 / 2 q ∥ 2 ≤ 1 4 q T A − q − c \left\|A^{1/2}x+\frac{1}{2}A^{-1/2}q\right\|_2\leq \sqrt{\frac{1}{4}q^{T}A^-q-c} ​A1/2x+21​A−1/2q ​2​≤41​qTA−q−c ​ 就能使用二阶锥规划求解了。