24 向量自回归模型

多个资产收益率的联合模型中最常用的是向量自回归 (Vector Autoregression, VAR)模型。 称\(k\)元时间序列\(\boldsymbol r_t\)服从一个一阶向量自回归模型， 即VAR(1)，若有 \[\begin{align} \boldsymbol r_t = \boldsymbol\phi_0 + \boldsymbol\Phi \boldsymbol r_{t-1} + \boldsymbol a_t \tag{24.1} \end{align}\] 其中\(\boldsymbol\phi_0\)是\(k\)维常数向量， \(\boldsymbol\Phi\)是\(k\)阶常数方阵， \(\{\boldsymbol a_t\}\)是序列不相关的弱平稳列， \(E\boldsymbol a_t = \boldsymbol 0\), \(\text{Var}(\boldsymbol a_t) = \boldsymbol\Sigma>0\)(对称正定矩阵)。

文献中经常假定\(\{ \boldsymbol a_t \}\)服从多元正态分布 \(N_k(\boldsymbol 0, \boldsymbol\Sigma)\)， 则这时\(\boldsymbol a_t\)是独立同分布随机向量序列。

记\(\boldsymbol a_t = (a_{1t}, \dots, a_{kt})^T\)， \(\boldsymbol\phi_0 = (\phi_{10}, \dots, \phi_{k0})^T\), \(\boldsymbol\Phi=(\phi_{ij})_{k\times k}\)。

考虑\(k=2\)的情形。 模型变成 \[\begin{align} \begin{cases} r_{1t} = \phi_{10} + \phi_{11} r_{1,t-1} + \phi_{12} r_{2,t-1} + a_{1t} \\ r_{2t} = \phi_{20} + \phi_{21} r_{1,t-1} + \phi_{22} r_{2,t-1} + a_{2t} \end{cases} \tag{24.2} \end{align}\]

如果\(\phi_{12} = \phi_{21} = 0\), 则\(r_{1t}\)和\(r_{2t}\)两个序列是分离的： \[\begin{aligned} r_{1t} =& \phi_{10} + \phi_{11} r_{1,t-1} + a_{1t} \\ r_{2t} =& \phi_{20} + \phi_{22} r_{2,t-1} + a_{2t} \end{aligned}\] 这时两个序列分别服从单独的一元AR(1)模型； 如果\(a_{1t}\)和\(a_{2t}\)不相关， 则\(\{ r_{1t} \}\)序列与\(\{ r_{2s} \}\)序列不相关。 称这样的分离的序列为非耦合的。

如果\(\phi_{12} \neq 0\), \(\phi_{21} \neq 0\), 这时两个序列之间有相互反馈关系。

如果\(\phi_{12}=0\), \(\phi_{21} \neq 0\), 模型变成 \[\begin{align} \begin{cases} r_{1t} = \phi_{10} + \phi_{11} r_{1,t-1} + a_{1t} \\ r_{2t} = \phi_{20} + \phi_{21} r_{1,t-1} + \phi_{22} r_{2,t-1} + a_{2t} \end{cases} \tag{24.3} \end{align}\] 这时\(r_{1t}\)不受到\(r_{2t}\)的过去值的影响， 但\(r_{2t}\)受到\(r_{1,t-1}\)的过去值的影响。 可以将\(r_{1t}\)作为输入变量， \(r_{2t}\)作为输出变量。

在统计学文献中， 如果\(a_{1t}\)和\(a_{2t}\)也不相关， 称式(24.3)的\(r_{1t}\)和\(r_{2t}\) 之间有传递函数(transfer function)关系。 传递函数模型是VARMA的一种特殊形式， 在控制工程中非常有用， 可以通过调整\(r_{1t}\)的值来影响\(r_{2t}\)。 在计量经济学文献中， 此模型意味着两个序列之间存在格兰杰因果关系， \(r_{1t}\)的过去值影响\(r_{2t}\)， 但\(r_{2t}\)的过去值不影响\(r_{1t}\)。

(C. W. J. Granger 1969)提出了因果关系的概念， 适用于解释VAR模型的结果。 考虑一个二元序列\(\boldsymbol r_t=(r_{1t}, r_{2t})^T\) 的超前\(l\)步预测问题。 可以分别用VAR模型和每个分量的一元模型来进行预测。 如果\(r_{2t}\)的二元预测比它的一元预测更准确， 则称\(r_{1t}\)是\(r_{2t}\)的格兰格原因， 这是因为\(r_{1t}\)的信息提高了\(r_{2t}\)的预测精度。 这里预测精度用预测的均方误差来度量。 当然，\(r_{2t}\)也可以同时是\(r_{1t}\)的格兰格原因。

令\(F_t\)表示截止到时刻\(t\)的可用信息， 即\(F_t\)包含\(\{ \boldsymbol r_t, \boldsymbol r_{t-1}, \boldsymbol r_{t-2}, \dots\}\)。 令\(F_{-i,t}\)表示\(F_t\)中去掉第\(i\)个分量的信息的集合。 考虑(24.2)的二元VAR(1)模型。 \(F_t\)包含\(\{ r_{1t}, r_{2t}, r_{1,t-1}, r_{2,t-1}, \dots\}\), \(F_{-1,t}\)包含\(\{ r_{2t}, r_{2,t-1}, \dots\}\)。 考虑基于\(F_t\)的超前\(l\)步预测， 其预测误差为 \[ \boldsymbol e_t(l) = (e_{1t}(l), e_{2t}(l))^T= \boldsymbol r_{t+l} - E(\boldsymbol r_{t+l} | F_t) \] 其中对\(r_{2,t+l}\)的预测误差为 \[ e_{2t}(l) = r_{2,t+l} - E(r_{2,t+l} | F_t) \] 考虑基于\(F_{-1,t}\)对\(r_{2,t+l}\)的预测， 其预测误差为 \[ \tilde e_{2t}(l) = r_{2,t+l} - E(r_{2,t+l} | F_{-1,t}) = r_{2,t+l} - E(r_{2,t+l} | r_{2,t}, r_{2,t-1}, \dots) \] 如果 \[ E e_{2t}^2(l) = \text{Var}(r_{2,t+l} | F_t) < E \tilde e_{2t}^2(l) = \text{Var}(r_{2,t+l} | F_{-1,t}) \] 即使用截止到\(t\)时刻为止的全部信息预测\(r_{2,t+l}\)， 均方误差比不利用第一个分量序列的均方误差小， 则称\(r_{1t}\)是\(r_{2t}\)的格兰格原因。

回到二元VAR(1)模型(24.2)， 如果\(\phi_{12}=0\)而\(\phi_{21} \neq 0\)， 则\(r_{2,t+1}\)依赖于\(r_{1,t}\)， 预测\(r_{2,t+1}\)时需要利用\(r_{1t}\)的信息， 序列\(r_{1t}\)是序列\(r_{2t}\)的格兰格原因； \(r_{1,t+1}\)不依赖于\(r_{2,t}\)， 预测\(r_{1,t+1}\)就不需要用到\(r_{2t}\)， 所以序列\(r_{2t}\)不是序列\(r_{1t}\)的格兰格原因。

事实上，对(24.3)， 不妨设\(\{\boldsymbol a_t\}\)是独立的多元弱平稳列， 这时 \(E(\boldsymbol a_{t+1} | F_t) = \boldsymbol 0\), \(E(a_{2,t+1} | F_{-1,t}) = 0\), \(\text{Var}(a_{2,t+1} | F_t) = \text{Var}(a_{2,t+1} | F_{-1,t}) = \sigma_{22}\)， 又 \[\begin{aligned} E(r_{2,t+1} | F_t) =& \phi_{20} + \phi_{21} r_{1,t} + \phi_{22} r_{2,t} \\ \text{Var}(r_{2,t+1} | F_t) =& E[(r_{2,t+1} - E(r_{2,t+1} | F_t))^2 | F_t] \\ =& E(a_{2,t+1}^2 | F_t) = \sigma_{22} \end{aligned}\] 而 \[\begin{aligned} E(r_{2,t+1} | F_{-1,t}) =& \phi_{20} + \phi_{21} E(r_{1,t} | F_{-1,t}) + \phi_{22} r_{2,t} \\ \text{Var}(r_{2,t+1} | F_{-1,t}) =& E[(r_{2,t+1} - E(r_{2,t+1} | F_{-1,t}))^2 | F_{-1,t}] \\ =& E[ \left\{ \phi_{21} (r_{1,t} - E(r_{1,t} | F_{-1,t})) + a_{2,t+1} \right\}^2 | F_{-1,t}] \\ =& \phi_{21}^2 \text{Var}(r_{1,t} | F_{-1,t}) + \sigma_{22} > \sigma_{22} \end{aligned}\] 即\(r_{1t}\)是\(r_{2t}\)的格兰格原因。

另一方面， \[\begin{aligned} E(r_{1,t+1} | F_t) =& \phi_{10} + \phi_{11} r_{1,t} \\ \text{Var}(r_{1,t+1} | F_t) =& E[(r_{1,t+1} - E(r_{1,t+1} | F_t))^2 | F_t] \\ =& E(a_{1,t+1}^2 | F_t) = \text{Var}(a_{1,t+1}) = \sigma_{11} \\ E(r_{1,t+1} | F_{-2,t}) =& \phi_{10} + \phi_{11} r_{1,t} \\ \text{Var}(r_{1,t+1} | F_{-2,t}) =& E[(r_{1,t+1} - E(r_{1,t+1} | F_{-2,t}))^2 | F_{-2,t}] \\ =& E(a_{1,t+1}^2 | F_{-2,t}) = \text{Var}(a_{1,t+1}) = \sigma_{11} \end{aligned}\] 所以\(r_{2t}\)不是\(r_{1t}\)的格兰格原因。

如果\(\phi_{21} = 0\)而\(\phi_{12} \neq 0\)， 则序列\(r_{2t}\)是序列\(r_{1t}\)的格兰格原因， 而序列\(r_{1t}\)不是序列\(r_{2t}\)的格兰格原因。

如果新息\(\boldsymbol a_t = (a_{1t}, a_{2t})^T\)的协方差阵\(\Sigma\)不是对角阵， 则\(r_{1t}\)和\(r_{2t}\)之间存在同步相关性， 这时两个序列存在即期（同期，瞬时）格兰格因果关系， 这种即期因果关系是双向的。

注意， 这样定义的格兰格因果性依赖于VAR(1)模型(24.1)这样的模型形式（称为简化形式）， 如果改变模型的形式（比如改为下面的结构形式）， 可能就不会在\(\phi_{12}\)和\(\phi_{21}\)这样的简单数值上反映出格兰格因果性。

更多分量的VAR(1)可以有更灵活的格兰格因果关系。 比如三元的模型， 如果\(\boldsymbol\Phi\)是下三角阵: \[ \left( \begin{matrix} \phi_{11} \\ \phi_{21} & \phi_{22} \\ \phi_{31} & \phi_{32} & \phi_{33} \end{matrix} \right) \] 则：

如果\(\boldsymbol\Phi\)有其他稀疏形式， 关系可能多种多样。

式(24.1)的系数矩阵\(\boldsymbol\Phi\) 度量了\(\boldsymbol r_t\)的动态相依性， \(r_{1t}\)与\(r_{2t}\)之间的同步相依性可以通过 \(\boldsymbol a_t\)的协方差阵\(\boldsymbol\Sigma\)的非对角元素 \(\sigma_{12}\)来反映。 如果\(\sigma_{12} = 0\)， 则两个分量\(r_{1t}\)和\(r_{2t}\)之间没有同步线性关系。 在计量经济文献中式(24.1)中的VAR(1) 模型称为简化形式(reduced form)的模型， 因为该模型没有清楚地表现出分量序列之间的同步线性相依性。

可以利用矩阵变换对(24.1)进行变换， 得到显式地表现同步关系的模型。 对\(\boldsymbol\Sigma>0\)(正定)， 存在Cholesky分解 \(\boldsymbol\Sigma = \boldsymbol L \boldsymbol G \boldsymbol L^T\), 其中\(\boldsymbol G\)是对角线元素都为正数的\(k\)阶对角方阵， \(\boldsymbol L\)为对角线元素都等于1的下三角阵， 定义 \[\begin{aligned} \boldsymbol b_t = \boldsymbol L^{-1} \boldsymbol a_t = (b_{1t}, \dots, b_{kt})^T \end{aligned}\] 则 \[\begin{aligned} E \boldsymbol b_t =& 0 \\ \text{Var}(\boldsymbol b_t) =& \boldsymbol L^{-1} \text{Var}(\boldsymbol a_t) L^{-T} = \boldsymbol G \end{aligned}\] 其中\(\boldsymbol L^{-T} = (\boldsymbol L^T)^{-1} = (\boldsymbol L^{-1})^T\)。 上式表明\(\boldsymbol b_t\)的各分量不相关。 将式(24.1)两边同时左乘\(\boldsymbol L^{-1}\)， 得 \[\begin{align} \boldsymbol L^{-1} \boldsymbol r_t =& \boldsymbol L^{-1} \boldsymbol\phi_0 + \boldsymbol L^{-1} \boldsymbol\Phi \boldsymbol r_{t-1} + \boldsymbol L^{-1} \boldsymbol a_t \\ =& \boldsymbol\phi_0^* + \boldsymbol\Phi^* \boldsymbol r_{t-1} + \boldsymbol b_t \tag{24.4} \end{align}\]

记\(\boldsymbol\phi_0^* = (\phi_{10}^*, \dots, \phi_{k0}^*)^T\), \(\boldsymbol\Phi^* = (\phi_{ij}^*)_{k\times k}\)， 设\(\boldsymbol L^{-1}\)的最后一行为 \((w_{k1}, \dots, w_{k,k-1}, 1)\)， 则模型(24.4)的最后一个方程（第\(k\)个方程）为 \[\begin{align} r_{kt} + \sum_{i=1}^{k-1} w_{ki} r_{it} = \phi_{k0}^* + \sum_{i=1}^k \phi_{ki}^* r_{i,t-1} + b_{kt} \tag{24.5} \end{align}\]

对\(i