重要极限证明

两个重要极限定理： lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 (1) \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \tag{1} x→0lim​xsinx​=1(1) 和 lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e (2) \lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e \tag{2} x→∞lim​(1+x1​)x=e(2)

引理(夹逼定理)

定义一：

如果数列 { X n } \lbrace X_n \rbrace {Xn​}， { Y n } \lbrace Y_n \rbrace {Yn​} 及 { Z n } \lbrace Z_n \rbrace {Zn​} ，满足下列条件：

(1) 当 n > N 0 n > N_0 n>N0​ 时，其中 N 0 ∈ N ∗ N_0 \in N^* N0​∈N∗ ，有 Y n ≤ X n ≤ Z n Y_n \le X_n \le Z_n Yn​≤Xn​≤Zn​，

(2) { Y n } \lbrace Y_n\rbrace {Yn​}， { Z n } \lbrace Z_n \rbrace {Zn​} 有相同的极限 a a a，设 − ∞ < a < + ∞ - \infty < a < + \infty −∞