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底盘运动学 舵轮轮系提示本文的运动学仅讨论机器人自身坐标系下的情况 如需世界坐标系还需加上旋转矩阵四舵轮轮系介绍演示实机Webots仿真3D模型预览正在添加...轮系结构 如图所示，建立如下世界坐标系 XOYXOYXOY ，世界坐标系中 XXX 正方向为机器人全局0度方向，建立机器人本地坐标系 xoyxoyxoy ，车头方向为本地坐标系 xxx 正方向。 机器人中心到每个轮子的xxx、yyy方向上的距离都为LLL，机器人旋转角速度为ω\omegaω，逆时针方向为角速度正方向，机器人本体与轮子作为一个刚体，刚体中每个点的旋转角速度相等，因此有: ω=ωLF=ωRF=ωLB=ωRB\omega = \omega_{LF} = \omega_{RF} = \omega_{LB} = \omega_{RB}ω=ωLF=ωRF=ωLB=ωRB轮系结构图如下： 逆运动学对四舵轮机器人轮系而言，逆解已知量为[vxvyωz]\left[\begin{array}{l} v_{x} \\ v_{y} \\ \omega_{z} \end{array}\right]⎣⎡vxvyωz⎦⎤，逆解待解量为[VLFVRFVLBVRBALFARFALBARB]\left[\begin{array}{l} V_{LF} \\ V_{RF} \\ V_{LB} \\ V_{RB} \\ A_{LF} \\ A_{RF} \\ A_{LB} \\ A_{RB} \end{array}\right]⎣⎡VLFVRFVLBVRBALFARFALBARB⎦⎤。 上式中每个变量的含义： vxv_xvx ： 机器人局部坐标系x方向线速度vyv_yvy ： 机器人局部坐标系y方向线速度ωz\omega_zωz ： 机器人局部坐标系绕z轴旋转角速度VLFV_{LF}VLF ： 左前舵轮驱动轮线速度（m/s）VRFV_{RF}VRF ： 右前舵轮驱动轮线速度（m/s）VLBV_{LB}VLB ： 左后舵轮驱动轮线速度（m/s）VRBV_{RB}VRB ： 右后舵轮驱动轮线速度（m/s）ALFA_{LF}ALF ： 左前舵轮转向轮角度（Rad）ARFA_{RF}ARF ： 右前舵轮转向轮角度（Rad）ALBA_{LB}ALB ： 左后舵轮转向轮角度（Rad）ARBA_{RB}ARB ： 右后舵轮转向轮角度（Rad）由三角形关系可得： RLF2=[L+Rsin(A)]2+[L+Rcos(A)]2(1)R_{LF}^{2}=\left[ L + R\sin(A) \right]^{2}+\left[ L + R\cos(A) \right]^{2} \tag{1}RLF2=[L+Rsin(A)]2+[L+Rcos(A)]2(1)RLB2=[L−Rsin(A)]2+[L+Rcos(A)]2(2)R_{LB}^{2}=\left[ L - R\sin(A) \right]^{2}+\left[ L + R\cos(A) \right]^{2} \tag{2}RLB2=[L−Rsin(A)]2+[L+Rcos(A)]2(2)RRF2=[−L+Rcos(A)]2+[L−Rsin(A)]2(3)R_{RF}^{2}=\left[ -L + R\cos(A) \right]^{2}+\left[ L - R\sin(A) \right]^{2} \tag{3}RRF2=[−L+Rcos(A)]2+[L−Rsin(A)]2(3)RRB2=[−L+Rcos(A)]2+[L+Rsin(A)]2(4)R_{RB}^{2}=\left[ -L + R\cos(A) \right]^{2}+\left[ L + R\sin(A) \right]^{2} \tag{4}RRB2=[−L+Rcos(A)]2+[L+Rsin(A)]2(4)tan(π2−ALF)=Rcos(A)+L2Rsin(A)+L2(5)\tan \left(\frac{\pi}{2}-A_{LF}\right)=\frac{ R \cos(A) + \frac{L}{2} }{ R \sin(A) + \frac{L}{2} } \tag{5}tan(2π−ALF)=Rsin(A)+2LRcos(A)+2L(5)tan(π2−ALB)=Rcos(A)+L2−Rsin(A)+L2(6)\tan \left(\frac{\pi}{2}-A_{LB}\right)=\frac{ R \cos(A) + \frac{L}{2} }{ -R \sin(A) + \frac{L}{2} } \tag{6}tan(2π−ALB)=−Rsin(A)+2LRcos(A)+2L(6)tan(π2−ARF)=Rcos(A)−L2Rsin(A)+L2(7)\tan \left(\frac{\pi}{2}-A_{RF}\right)=\frac{ R \cos(A) - \frac{L}{2} }{ R \sin(A) + \frac{L}{2} } \tag{7}tan(2π−ARF)=Rsin(A)+2LRcos(A)−2L(7)tan(π2−ARB)=Rcos(A)−L2−Rsin(A)+L2(8)\tan \left(\frac{\pi}{2}-A_{RB}\right)=\frac{ R \cos(A) - \frac{L}{2} }{ -R \sin(A) + \frac{L}{2} } \tag{8}tan(2π−ARB)=−Rsin(A)+2LRcos(A)−2L(8)上式中： LLL ： 机器人中心到每个轮子之间的距离AAA ： 机器人旋转中心与车体两轮连线的中点形成的夹角RRR ： 机器人几何中心与旋转中心的距离RlFR_{lF}RlF ： 机器人旋转中心与左前轮连线距离RRFR_{RF}RRF ： 机器人旋转中心与右前轮连线距离RLBR_{LB}RLB ： 机器人旋转中心与左后轮连线距离RRBR_{RB}RRB ： 机器人旋转中心与右后轮连线距离在该解算中，根据物理关系有： V=vx+vy(9)V=\sqrt{v_{x}+v_{y}}\tag{9}V=vx+vy(9)A=arctan(vyvx)(10)A=\arctan \left(\frac{v_{y}}{v_{x}}\right)\tag{10}A=arctan(vxvy)(10)V=Rωz(11)V=R \omega_z\tag{11}V=Rωz(11)VLF=RLFωLF(12)V_{LF}=R_{LF} \omega_{LF}\tag{12}VLF=RLFωLF(12)VRF=RRFωRF(13)V_{RF}=R_{RF} \omega_{RF}\tag{13}VRF=RRFωRF(13)VLB=RLBωLB(14)V_{LB}=R_{LB} \omega_{LB}\tag{14}VLB=RLBωLB(14)VRF=RRFωRF(15)V_{RF}=R_{RF} \omega_{RF}\tag{15}VRF=RRFωRF(15)联立式(9)(9)(9)、(11)(11)(11)可得解得 RRR： R=Vωz=vx+vyωz(16)R = \frac{V}{\omega_z} = \frac{\sqrt{v_{x}+v_{y}}}{\omega_z} \tag{16}R=ωzV=ωzvx+vy(16)联立式(1)(1)(1)、(10)(10)(10)、(16)(16)(16)可解得RLFR_{LF}RLF，带入式(12)(12)(12)可计算出 VLFV_{LF}VLF 联立式(2)(2)(2)、(10)(10)(10)、(16)(16)(16)可解得RRFR_{RF}RRF，带入式(13)(13)(13)可计算出 VRFV_{RF}VRF 联立式(3)(3)(3)、(10)(10)(10)、(16)(16)(16)可解得RLBR_{LB}RLB，带入式(14)(14)(14)可计算出 VLBV_{LB}VLB 联立式(4)(4)(4)、(10)(10)(10)、(16)(16)(16)可解得RRBR_{RB}RRB，带入式(15)(15)(15)可计算出 VRBV_{RB}VRB 联立式(5)(5)(5)、(10)(10)(10)、(16)(16)(16)可计算出 ALFA_{LF}ALF 联立式(6)(6)(6)、(10)(10)(10)、(16)(16)(16)可计算出 ARFA_{RF}ARF 联立式(7)(7)(7)、(10)(10)(10)、(16)(16)(16)可计算出 ALBA_{LB}ALB 联立式(8)(8)(8)、(10)(10)(10)、(16)(16)(16)可计算出 ARBA_{RB}ARB 综上，此时已得到所有逆解待解量，在代码中实现的时候依然要注意arctan\arctanarctan等反三角函数的奇点问题。 正运动学未完待续待续... 三舵轮轮系Webots仿真视频3D模型预览正在添加...正运动学未完待续待续... 逆运动学未完待续待续... 双舵轮轮系介绍演示Webots仿真视频3D模型预览轮系结构如图所示，建立如下世界坐标系 XOYXOYXOY ，世界坐标系中 XXX 正方向为机器人全局0度方向，建立机器人本地坐标系 xoyxoyxoy ，车头方向为本地坐标系 xxx 正方向。 机器人中心到前后轮子的距离都为LLL，机器人旋转角速度为ω\omegaω，逆时针方向为角速度正方向，机器人本体与轮子作为一个刚体，刚体中每个点的旋转角速度相等，因此有: ω=ωF=ωB\omega = \omega_{F} = \omega_{B}ω=ωF=ωB逆运动学对双舵轮机器人轮系而言，逆解已知量为[vxvyωz]\left[\begin{array}{l} v_{x} \\ v_{y} \\ \omega_{z} \end{array}\right]⎣⎡vxvyωz⎦⎤，逆解待解量为[VFAFVBAB]\left[\begin{array}{l} V_{F} \\ A_{F} \\ V_{B} \\ A_{B} \end{array}\right]⎣⎡VFAFVBAB⎦⎤。 上式中每个变量的含义： vxv_xvx ： 机器人局部坐标系x方向线速度vyv_yvy ： 机器人局部坐标系y方向线速度ωz\omega_zωz ： 机器人局部坐标系绕z轴旋转角速度VFV_FVF ： 前舵轮驱动轮线速度（m/s）AFA_FAF ： 前舵轮转向轮角度（Rad）VBV_BVB ： 后舵轮驱动轮线速度（m/s）ABA_BAB ： 后舵轮转向轮角度（Rad）由三角形关系可得： RF2=[L+Rcos(π2−A)]2+[Rsin(π2−A)]2(1)R_{F}^{2}=\left[L+R \cos \left(\frac{\pi}{2}-A\right)\right]^{2}+\left[R \sin \left(\frac{\pi}{2}-A\right)\right]^{2} \tag{1}RF2=[L+Rcos(2π−A)]2+[Rsin(2π−A)]2(1)RB2=[L−Rcos(π2−A)]2+[Rsin(π2−A)]2(2)R_{B}^{2}=\left[L-R \cos \left(\frac{\pi}{2}-A\right)\right]^{2}+\left[R \sin \left(\frac{\pi}{2}-A\right)\right]^{2} \tag{2}RB2=[L−Rcos(2π−A)]2+[Rsin(2π−A)]2(2)tan(π2−AF)=Rsin(π2−A)L−Rcos(π2−A)(3)\tan \left(\frac{\pi}{2}-A_{F}\right)=\frac{R \sin \left(\frac{\pi}{2}-A\right)}{L-R \cos \left(\frac{\pi}{2}-A\right)} \tag{3}tan(2π−AF)=L−Rcos(2π−A)Rsin(2π−A)(3)tan(π2−AB)=Rsin(π2−A)L+Rcos(π2−A)(4)\tan \left(\frac{\pi}{2}-A_{B}\right)=\frac{R \sin \left(\frac{\pi}{2}-A\right)}{L+R \cos \left(\frac{\pi}{2}-A\right)} \tag{4}tan(2π−AB)=L+Rcos(2π−A)Rsin(2π−A)(4)上式中： LLL ： 机器人中心到每个轮子之间的距离AAA ： 机器人旋转中心与车体两轮连线的中点形成的夹角RRR ： 机器人几何中心与旋转中心的距离RFR_FRF ： 机器人旋转中心与前轮连线距离RBR_BRB ： 机器人旋转中心与后轮连线距离在该解算中，默认已知关系有： V=vx+vy(5)V=\sqrt{v_{x}+v_{y}}\tag{5}V=vx+vy(5)A=arctan(vyvx)(6)A=\arctan \left( \frac{v_{y}}{v_{x}} \right) \tag{6}A=arctan(vxvy)(6)V=Rωz(7)V=R \omega_z\tag{7}V=Rωz(7)VF=RFωz(8)V_{F}=R_{F} \omega_z\tag{8}VF=RFωz(8)VB=RBωz(9)V_{B}=R_{B} \omega_z\tag{9}VB=RBωz(9)联立式(5)(5)(5)、(7)(7)(7)可得RRR： R=Vωz=vx+vyωz(10)R = \frac{V}{\omega_z} = \frac{\sqrt{v_{x}+v_{y}}}{\omega_z} \tag{10}R=ωzV=ωzvx+vy(10)联立式(1)(1)(1)、(6)(6)(6)、(10)(10)(10)可得RFR_FRF，带入式(8)(8)(8)可计算出 VFV_FVF 联立式(2)(2)(2)、(6)(6)(6)、(10)(10)(10)可得RBR_BRB，带入式(9)(9)(9)可计算出 VBV_BVB 联立式(3)(3)(3)、(6)(6)(6)、(10)(10)(10)可计算出 AFA_FAF 联立式(4)(4)(4)、(6)(6)(6)、(10)(10)(10)可计算出 ABA_BAB 综上，此时已得到 VFV_FVF、VBV_BVB、AFA_FAF、ABA_BAB ，逆解待解量计算完成，在代码中实现的时候依然要注意arctan\arctanarctan等反三角函数的奇点问题。 正运动学未完待续待续... 单舵轮轮系介绍演示Webots仿真视频3D模型预览轮系结构如下图所示，本文研究的单舵轮 AGV 的结构包括1个主动轮、2个定向轮和1个万向轮，其中主动轮为舵轮，有驱动和转向的功能。万向轮主要起支撑作用，提高AGV承载能力和稳定性，对运动学模型没有影响。定义AGV前面两个从动轮中心连线的中点OOO作为 AGV 的参考点，OXYOXYOXY 为小车局部坐标系。 逆运动学在全局坐标系OXYOXYOXY中，有 [x˙y˙θ˙]=[cosθ0sinθ001]⋅[vω](1)\left[\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{\theta} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & 0 \\ \sin \theta & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l} v \\ \omega \end{array}\right] \tag{1}⎣⎡x˙y˙θ˙⎦⎤=⎣⎡cosθsinθ0001⎦⎤⋅[vω](1)式中： vvv 和 ωωω（定义逆时针旋转为正）分别为 AGV 在参考点OOO处的线速度和角速度。 根据图中的几何关系可得: {l1=L/sinδl2=L/tanδ+d(2)\left\{\begin{array}{l} l_{1}=L / \sin \delta \\ l_{2}=L / \tan \delta+d \end{array}\right. \tag{2}{l1=L/sinδl2=L/tanδ+d(2)式中 LLL 为 AGV 前轮轴心线与后轮轴心线的间距； ddd 为舵轮横向偏距；δδδ 为舵轮偏转角，定义逆时针为正。 参考点处的线速度 vvv 与角速度 ωωω 表达式分别为： {v=ω⋅l2ω=vd/l1(3)\left\{\begin{array}{l} v=\omega \cdot l_{2} \\ \omega=v_{d} / l_{1} \end{array}\right. \tag{3}{v=ω⋅l2ω=vd/l1(3)式中 vdv_dvd 为舵轮驱动速度。 将式(2)代入式(3)可得: {v=vd(cosδ+dsinδL)ω=vdsinδL(4)\left\{\begin{array}{l} v=v_{d}\left(\cos \delta+\frac{d \sin \delta}{L}\right) \\ \omega=\frac{v_{d} \sin \delta}{L} \end{array}\right. \tag{4}{v=vd(cosδ+Ldsinδ)ω=Lvdsinδ(4)结合式(1)和式(4)可得，单舵轮 AGV 运动学模型为： {x˙=vdcosθ(cosδ+dsinδL)y˙=vdsinθ(cosδ+dsinδL)θ˙=vdsinδL(5)\left\{\begin{array}{l} \dot{x}=v_{d} \cos \theta\left(\cos \delta+\frac{d \sin \delta}{L}\right) \\ \dot{y}=v_{d} \sin \theta\left(\cos \delta+\frac{d \sin \delta}{L}\right) \\ \dot{\theta}=\frac{v_{d} \sin \delta}{L} \end{array}\right. \tag{5}⎩⎨⎧x˙=vdcosθ(cosδ+Ldsinδ)y˙=vdsinθ(cosδ+Ldsinδ)θ˙=Lvdsinδ(5)正运动学未完待续待续... |
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