行列式之逆序数和一般运算法则

图1.线性方程和非线性方程的区别

线性方程组就是全由线性方程构成的方程组。

非线性方程组就是不全由线性方程构成的方程组。

图2显示了线性方程组和非线性方程组的区别：

图2. 线性方程组和非线性方程组的区别

小编在这里还要介绍一个概念，就是多次方程，多次方程属于非线性方程。

第1节中提到的方程xy=1不是线性方程，这是因为虽然变量x和y的幂均为1，但是变量x和y是以乘积的形式组合在一起，因此得将xy视为一个整体的变量，这个整体变量的幂是变量x的幂与变量y的幂的和。因此方程xy=1是二次方程。

但是一定要切记，讨论一次或多次方程时，各个变量的幂必须是整数。比如下面的方程就不能认为是二次方程，而就是非线性方程。

那么下面的方程是几次方程呢？

在判断方程是几次方程时，一定要看能否化简。方程(1)可以通过移项操作，最后得出的是有约束条件的一次方程。方程(2)通过化简，可以得出是一次方程x=4。

在大家对方程的类型有了一定的了解后，那么接下来可以聊聊行列式的由来了。

行列式概念是从解决线性方程组的过程中提出来的。而这个线性方程组有个特点，那就是方程的个数与变量的个数相等。

首先看二元一次线性方程组：

在不考虑参数的具体取值情况下，可以得出变量的解的形式如下：

如果采取下面这种标记法，即行列式：

则方程的解可表示为。

通过设定这样的规则，方程组的解的形式有了一定的规律。

那么很自然地可以推广到n元方程组。即对于如下n元方程组：

n元方程组的解的形式如下：

采用行列式对线性方程组的解进行标记很方便，但是如何对行列式设定运算法则呢？

比如函数f(x)=x+4，对于x的每个值，函数f(x)的运算法则，就是在x原值基础上加4。 那么对于行列式而言，当给定一组排列有序的数据后，如何在这组数据上施加运算法则？

二阶、三阶行列式，可以简单地通过沙路法得到结果，如下所示：

在上方的三阶行列式中，小编只标记了正项的元素。

沙路法适用于二阶和三阶行列式的计算，但是不适用于四阶及以上的行列式。那么对于行列式，有没有通用的运算法则呢？

对于n阶行列式，科学家归纳出来一个运算法则，如下所示：

对于上述运算法则，小编接下来进行详细地解释。

何为1，2，…，n的一个全排列？

为了方便解释，不妨考虑n=4的情况。此时1234就是一个全排列，2134也是一个全排列。也就是说，全排列就是所有元素都参与且只参与一次的排列！

那么对于1到n的n个数，有多少个不同的全排列呢？这就涉及到高中所学过的排列组合知识了。总共有n！个不同的全排列，由下式得出。

因此，对于n阶行列式，在计算公式中，总共有n！项。

现在要考虑对于这n！个项的每一项来说，前面的系数是1还是-1呢？这就是计算公式中涉及到的逆序数。

同样以n=4为例进行说明。

{1,2,3,4}的一个全排列为2143。从左往右，一个一个数字看。2依次与位于其后的数字相比，若2大于该数字，则为2的一个逆序。显然，在全排列中，2的逆序为1。同理可得，1的逆序为0；4的逆序为1；3的逆序为0。因此全排列2143的逆序数=1+0+1+0=2。

大家判断下4321的逆序数是多少呢？

相信大家已经理解了全排列和逆序数。那回到n阶行列式的计算公式中，该公式的意思就是，从第1行至第n行分别取出一个数，并且这些数的列索引是1,2,…,n的一个全排列，根据这个规则，总共有n!个项。每一项的正负号由对应的列索引的全排列决定。

小编以三阶行列式来说明。

第一行取1，第二行取5，第三行取9，则列索引分别为1,2,3是{1,2,3}的一个全排列。

但如果第一行取1，第二行取4，第三行取9，则列索引分别为1,1,3，不是1,2,3的一个全排列，因此这种取法不对。

大家根据这种思路，采用行列式的通用计算公式来计算上面这个行列上吧，并与三阶行列式的沙路法进行比较，看看结果是不是一样的。返回搜狐，查看更多