矩阵论（五）范数和矩阵函数

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矩阵论（五）范数和矩阵函数

2022-06-02 13:51| 来源: 网络整理| 查看: 265

第一节范数的概念

定义:设V是数域F上的向量空间，v是定义在V上的实值函数。若v满足：

正定性： $\forall \theta\neq\alpha\in V,v(\alpha)0$ $\forall \alpha\in V,k \in F,v(k\alpha)=|k|v(\alpha)$ $\forall \alpha\beta\in V,v(\alpha+\beta)\leq v(\alpha)+v(\beta)$ 称v是定义在V上的范数，定义了范数的线性空间称为赋范线性空间

$c^n中范数的例子:$

$1-范数：||x||_1=\sum_{i=1}^n|x_i|$ $2-范数:||x||_2=(\sum_{i=1}^n|x_i|^2)^\frac{1}{2}=(x^H x)^\frac{1}{2}=||x||^2$ $\infty-范数:||x||_\infty=\max_{1\leq I\leq n}|x_i|$ $p-范数:||x||_p=(\sum_{I=1}^n|x_i|^p)^\frac{1}{p}, \forall p \geq 1$ 第二节矩阵范数

矩阵P-范数， $A=(a_{ij})_{m\times n}$ $||A||_{m_1}=\sum_{i,j}|a_{ij}|$ $||A||_{m_2}=(\sum_{i,j} |a_{ij}|^2)^\frac{1}{2}=(trA^H A)^{\frac{1}{2}}=(trAA^H )^{\frac{1}{2}}$ $||A||_{m_\infty}=\max_{i,j}\left\{|a_{ij}|\right\}$ $||A||_{m_2}又记为||A||_F$ ，称为Frobenius范数，若U,V是酉矩阵，则 $||A||_F=||UAV||_F$ 在酉变换底下不变的范数。

范数的相容性

定义:设 $C^{s\times m},C^{m\times n},C^{s\times n}$ 中定义了范数 $||·||_a，|·||_b，|·||_c$ ，若对 $\forall A\in C^{s\times n},B\in C^{m\times n}$ $||AB||_c\leq||A||_a||B||_b$ 则称范数 $||·||_a，|·||_b，|·||_c$ 是相容的。

算子范数

定理：设 $A=(a_{ij})_{s\times n}$ $||A||_1=\max_{1\leq j\leq n}\left\{\sum_{i=1}^s|a_{ij}|\right\}$ ：列模和范数 $||A||_2=\sqrt{\rho(A^H A)}$ ：谱范数 $||A||_\infty=\max_{1\leq i\leq s}\left\{\sum_{j=1}^n|a_{ij}|\right\}$ ：行模和范数

第三节收敛定理

待补充

第四节矩阵函数

设函数f(x)可以展开称幂级数 $f(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}a_ix^i,|x|R,A\in C^{n\times n}$ ，且 $\rho(A)R$ ,定义 $f(A)=\sum_{i=0}^{+\infty}a_iA^I=\lim_{n\rightarrow +\infty}a_iA^I$

例： $A=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)，求e^A$

解： $\begin{aligned} e^A&=I+\frac{1}{1!}A+\frac{1}{2!}A+\cdots+\frac{1}{n!}A\\&=I+(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots)A\\&=I+(e-1)A\\ &= \left( \begin{array}{cc} e&1\\ 0&1 \end{array} \right) \end{aligned}$

待定系数法

定理：若A的最小多项式： $m(\lambda)=\prod_{i=1}^S=(\lambda-\lambda_i)^{t_i}$ ， $g(x)$ 为 $(\sum_{i=1}^St_i-1)$ 次多项式，则 $\begin{aligned}f(A)=g(A)\Leftrightarrow f(\lambda_i)&=g(\lambda_i)\\ f'(\lambda_i)&=g'(\lambda_i)\\ &\vdots\\ f^{(t_i-1)}(\lambda_i)&=g^{(t_i-1)}(\lambda_i) \end{aligned}\$

例：已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1&-2&6\\-1&0&3\\-1&-1&4\end{array}\right),求e^{At}$

解: $|\lambda I-A|=(\lambda-1)^3$ 由 $r(A-I)=1$ 可得A的Jordan标准形为 $\left(\begin{array}{ccc}1&&\\&1&1\\&&1\end{array}\right)$ 则 $A$ 的最小多项式为 $(\lambda-1)^2$ 故 $g(x)$ 为1次多项式令 $g(x)=a+bx$ $f(x)=e^{xt}$ $\begin{aligned} f(A)=g(A)\Leftrightarrow f(\lambda)&=g(\lambda)\\ f'(\lambda)&=g'(\lambda) \end{aligned}$

$\therefore a=(1-t)e^t,b=te^t$ $\therefore e^{At}=f(A)=g(A)=aI+bA=(1-t)e^tI+te^tA$

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