离散数学

设 是一个群，这里 +6 是模 6 加法， Z6={0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ，试求出 的所有子群及其相应左陪集。

由于循环群的子群是循环群,并且群的阶的每一个正因子存在唯一的子群。

即子群的阶是6的正因子，6的正因子只有1,2,3,6,因此Z6共有4个子群,

它们分别是一阶子群，2阶子群，3阶子群，6阶子群 =Z6（本身）。

子群首先有两个平凡子群，即{[0]}，{Z6}。一个为幺元，另一个为群本身。

然后考虑 [2] 生成的子群: {[0],[2],[4]} 然后考虑 [3] 生成的子群: {[0],[3]}

所以子群,,，

下面求出左陪集： 分别用{Z6}中的每一个元素 加上 下面的集合，即可得：

{[0]}的左陪集：{[0]},{[1]},{[2]},{[3]},{[4]},{[5]}. {[0],[3]}的左陪集：{[0],[3]},{[1],[4]},{[2],[5]}. {[0],[2],[4]}的左陪集：{[0],[2],[4]},{[1],[3],[5]}. {[Z6]}的左陪集：{[0],[1],[2],[3],[4],[5]}.(Z6本身)

那么，为什么不是子群？

根据子群的定义，条件之一：任意两元素的运算结果仍在子群中，即封闭性。 那么可以取两个元素[1]，[1],模加6结果（1+1）%6=2，元素[2]并不在中，同理验证元素[5]。故其不是子群。

下面是一些概念：

循环群：若—个群G的每—个元都是G的某—个固定元a的乘方，则称G为循环群，记作G=(a)，a称为G的—个生成元。

代数系统：S是非空集合，f1, f2, f3…是这个集合上的运算，如果关于任意一个集合上的元素，经过这些运算后的结果还是在这个集合当中 (封闭性)，那么称为一个代数系统。 例如

零元：给定代数系统，如果存在某个元素a在S中且其他任意属于S的元素x与a（且a与x）进行●运算等于a，则a为●的零元。 例如，任何实数与0相乘都为0，所以0为×的零元。

幺元：给定代数系统，如果存在某个元素e在S中且其他任意属于S的元素x与e（且e与x）进行●运算等于x本身，则e为●的幺元。 例如，任何实数与1相乘都为它本身，所以1为×的幺元。

逆元：给定代数系统，如果存在某个元素x在S中，且另一个元素y也在S中，满足x与y（且y与x）进行●运算等于●在S中的单位元e，则x与y互为逆元。 例如， x(x不为0)与1/x便是互为逆元。

半群：给定代数系统, (● 是二元运算), 如果●的运算满足结合律, 则该代数系统为半群。例如, 对二元运算×满足结合律。

独异点：含有单位元的半群。 例如, 对二元运算还有单位元1。

群：独异点的集合中所有元素都拥有逆元且逆元在该集合中，则称该独异点为群。也就是说一个普通的代数系统要成为群需要满足下面几个条件： 1.代数系统中只有一个二元运算。（代数系统具有封闭性） 2.该运算要满足结合律。 3.该运算要有幺元。 4.集合每个元素都有逆元且逆元在集合中。 例如, , 为群, 而不再为群， 因为0没有逆元。

子群：给定群，若H是S的非空子集， 且H关于G中的运算构成群, 则称是的子群。 例如便是的子群。同样需要满足封闭性、结合律、有幺元，每个元素有逆元。

求子群时需要注意检验封闭性，即任意两个元素的运算之和仍然在子群中。

左陪集：如果存在一个群是群的子群，且有一个元素a在G中，则把集合a●H = {a ● h | h在H中}称为由元素a所确定的群中的H的左陪集，简记为aH，称a是左陪集aH中的代表元素。右陪集同理。

H的左陪集应该是对所有a属于G，应该是使a*h结果相等的集合。 比如：H={[0],[2]}是的子群，H的左陪集为[0]+H={[0],[2]} ; [1]+H={[1],[3]}; [2]+H={[2],[0]}; [3]+H={[1],[3]}; 可以看出[0]+H={[0],[2]}与[2]+H={[2],[0]}相等，其中一个左陪集为{[0],[2]};同理，另外一个左陪集为{[1],[3]}; 右陪集也一样。

如有错误，还请指正~