【概率论与数理统计 Probability and Statistics 8】

还记得我们在 C h a p t e r 2 Chapter 2 Chapter2 里面讨论的都是一维随机变量嘛，但是假如我们举一个例子：

我们一般使用 （X, Y）来表示。可以说是一个向量。

我们先来看看定义： F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}

它的意思是由 X ≤ x , Y ≤ y X ≤x, Y ≤y X≤x,Y≤y 所构成的蓝色区域所对应的立体密度函数的体积！！

这句话怎么理解呢？这得回到一维去，因为我们在一维随机变量里面， F ( x ) = P { X ≤ x } F(x) = P\{X≤x\} F(x)=P{X≤x}表示的是 X ≤ x X≤x X≤x 所对应的平面密度函数的面积。那么扩展到二维，它的密度函数是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ，是一个立体的函数，那么对应的自然就是体积了。

【1】 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0 ≤ F(x, y) ≤1 0≤F(x,y)≤1这个好理解，概率一定小于等于1 . 【2】 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 是关于 x 或 y 的不减函数 【3】 F ( − ∞ , y ) = 0 ; F ( x , − ∞ ) = 0 ; F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(-∞, y) = 0; F(x, -∞) = 0; F(-∞, -∞) = 0, F(+∞, +∞) = 1 F(−∞,y)=0;F(x,−∞)=0;F(−∞,−∞)=0,F(+∞,+∞)=1 如果我们把二维随机变量的概率密度函数想象成立体草帽，那么在任何一个变量是 -∞ 的时候，还没能切到草帽，所以体积一定是0.

【4】 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 分别关于 x, y右连续 【5】 P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\{x_1 < X ≤ x_2, y_1 X≤x,Y≤y} 它叫做联合分布函数。下面我们来看看边缘分布函数，其实也好理解： F X ( x ) = P { X ≤ x , Y < + ∞ } F_X(x) = P\{X ≤ x, Y< +∞\} FX​(x)=P{X≤x,YX≤1.2,Y≤1)，我们可以这样做： F ( 1.2 , 1 ) = 0 F(1.2, 1) = 0 F(1.2,1)=0

如果计算 F ( 2.4 , 2.1 ) F(2.4, 2.1) F(2.4,2.1)，我们可以这样做： F ( 2.4 , 2.1 ) = 0 + 1 2 + 1 8 + 1 8 = 3 4 F(2.4, 2.1) = 0+\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{4} F(2.4,2.1)=0+21​+81​+81​=43​

其他情况类似。

那么，如何计算边缘分布呢？首先我们看看计算 X 的边缘分布： 我们把 每一个 X 所在的行分别相加，就可以得到 X 的边缘分布。如下表：

Y 的边缘分布的计算类似。

最后提几个要点：

分布函数的定义还是一样的： F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} 它的意义我们在前面讨论过了，既然是体积，那么就会涉及到二重积分。我们先回顾一下二重积分的几何意义：

当 f ( x , y ) ≥ 0 f(x, y) ≥ 0 f(x,y)≥0 时， ∬ D f ( x , y ) d σ \iint_Df(x,y)dσ ∬D​f(x,y)dσ 是以区域 D 为底， f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。

因此，我们就可以通过二重积分计算分布函数： F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( s , t ) d s d t F(x,y) = \int_{-∞}^{x}\int_{-∞}^{y}f(s,t)dsdt F(x,y)=∫−∞x​∫−∞y​f(s,t)dsdt 下面我们给出几个性质： 【1】 f ( x , y ) > 0 f(x,y) >0 f(x,y)>0 【2】 ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t = 1 \int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt = 1 ∫−∞+∞​∫−∞+∞​f(s,t)dsdt=1 【3】 f ( x , y ) = ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y f(x,y) = \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial {x} \partial {y}} f(x,y)=∂x∂y∂2F(x,y)​（这时计算联合密度函数的好办法！） 【4】如果题目给出来一个区域 G G G，它是 X, Y 平面的一个区域。那么，我们有： P { ( x , y ) ∈ G } = ∬ G f ( x , y ) d x d y P\{(x, y)∈G\} = \iint_{G}f(x,y)dxdy P{(x,y)∈G}=∬G​f(x,y)dxdy 它也就是把 G 区域沿着 Z 轴拉伸，和 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 包围起来的那一部分体积

我们先定义一下边缘分布函数： F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t F Y ( y ) = F ( + ∞ , y ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t F_X(x) = F(x, +∞) = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt\\ \quad\\ F_Y(y) = F(+∞, y) = \int_{-∞}^y\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt FX​(x)=F(x,+∞)=∫−∞x​∫−∞+∞​f(s,t)dsdtFY​(y)=F(+∞,y)=∫−∞y​∫−∞+∞​f(s,t)dsdt

当然，通过联合分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 也可以计算处边缘分布： F X ( x ) = lim ⁡ y → + ∞ F ( x , y ) F Y ( y ) = lim ⁡ x → + ∞ F ( x , y ) F_X(x) = \lim_{y\to +∞}F(x, y)\\ \quad\\ F_Y(y) = \lim_{x\to +∞}F(x,y) FX​(x)=y→+∞lim​F(x,y)FY​(y)=x→+∞lim​F(x,y) 那么，如果要计算 X 的边缘密度函数，我们就对 F X ( x ) F_X(x) FX​(x) 求导： f X ( x ) = F X ′ ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f Y ( y ) = F Y ′ ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_X(x) = F_X'(x) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy\\ \quad\\ f_Y(y) = F_Y'(y) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dx fX​(x)=FX′​(x)=∫−∞+∞​f(x,y)dyfY​(y)=FY′​(y)=∫−∞+∞​f(x,y)dx 简而言之，要计算 f X ( x ) f_X(x) fX​(x)，可以在无穷范围内 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 对 y y y 积分。要计算 f Y ( y ) f_Y(y) fY​(y)，可以在无穷范围内 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 对 x x x 积分。

当我们说到这儿的时候，其实给出一道题做，套公式写出来没有任何问题。但是，真正的意义你理解了吗？下面我们看一个例子，博主打算用公式法+画图理解法剖析边缘密度函数的意义：

已知（X, Y)在椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 a2x2​+b2y2​=1 所围成的区域上服从均匀分布。其联合密度函数为： φ ( x , y ) = { 1 π a b x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 0 e l s e φ(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{πab}\quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} ≤1\\ 0\quad else\\ \end{cases} φ(x,y)={πab1​a2x2​+b2y2​≤10else​ 求 X ,Y 的边缘密度函数 φ X ( x ) , φ Y ( y ) φ_X(x), φ_Y(y) φX​(x),φY​(y)

首先，抛开问题本身，我们一般假设概率密度函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 就是一个草帽状函数，那么问一个问题：联合分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)的意义是什么？—— 根据定义思考一下： F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^yf(u, v)dudv F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∫−∞x​∫−∞y​f(u,v)dudv。下面我们看一张图理解一下：

具体一个 F ( x 0 , y 0 ) F(x_0, y_0) F(x0​,y0​)的意义就是分别用 x = x 0 x = x_0 x=x0​ 和 y = y 0 y = y_0 y=y0​ 这两把刀，去切割草帽，里面那部分的体积！

那么，边缘密度函数呢？如果我们还是以 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX​(x0​)为例？

既然是 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX​(x0​) ，那么也就意味着只用 x = x 0 x = x_0 x=x0​ 这一把刀去切割草帽，我们发现，切割草帽的时候会得到一个切割线，如上图所示。那么 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX​(x0​) 的意义就是这个切割线与 y y y 轴所围成的面积！

那么，如果我们把这样的分析具体化到这道题目上，本题的分布密度函数如下图左图所示。那么一样的道理，如果考虑 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX​(x0​)，就是只用 x = x 0 x = x_0 x=x0​这一把刀去切割分布密度函数图，如果这把刀能够切割到函数体，那么自然就会产生一个切痕，所以就是切痕曲线与 y y y 轴所围成的面积！

很显然，我们发现：这个分布密度函数在中间那个椭圆区域才有值，其他地方都是0.

现在，我们首先计算 φ X ( x ) φ_X(x) φX​(x)，很自然地，我们发现，如果 x = x 0 x = x_0 x=x0​ 这把刀放的太前（ x ≥ a x ≥a x≥a）或者太后（ x ≤ − a x ≤ -a x≤−a）我们都无法切到这个函数体，自然就没有切痕。那么 φ X ( x ) φ_X(x) φX​(x) 就会等于 0.即： φ X ( x ) = 0 i f   ∣ x ∣ ≥ a φ_X(x) = 0\quad if\space |x| ≥ a φX​(x)=0if ∣x∣≥a

下面考虑能切到的时候，即 ∣ x ∣ < a |x| < a ∣x∣