电磁场与电磁波（6）

目录

1.定义

2.泊松方程和拉普拉斯方程

3.边界问题

4.唯一性定理证明

5.例题

       根据前文—分界面上的衔接条件，在知道电荷分布的情况下，可以算出分界面上的电场分布

然而实际中，不知道电荷分布情况，只知道电位，那么就需要从唯一性定理出发，去求解电场分布

唯一性定理：静电场中，满足一定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。当场中介质及各导体的分布一定时：

（1）给定各导体表面的电位值，此时由边值问题解得的电位函数为唯一

（2）导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量，此时由边值问题所解得的电位函数，仅相差一无关紧要的常数，而电位的梯度E是唯一的；

（3）若给定某些导体表面的电位值，及其它导体表面（导体表面为等位面）的电荷量，此时由边值问题所解得得电位函数为唯一。

意义：对于静电场问题，不管采用什么方法求解，其解的形式可能不一样，但只要求得的解都满足唯一性定理所要求满足的条件，则可以判定这些不同形式的解彼此相等且均为有效。

已知：

对于各向同性或者线性的电介质：

电位移矢量的散度等于这一点自由电荷的体密度

现假定均匀介质，ε不是关于（x,y,z）的函数，而是常数，那么

即为泊松方程

如果某一点没有自由电荷，那么ρ=0，即

为拉普拉斯方程

泊松方程又称为控制体积V里面电场分布的控制方程

同时，电荷对于电场的作用是通过边界实现的，其中

 称为第一类边界条件（由给定的边界特性求解φ）

称为第二类边界条件（给定边界上法线方向上的方向导数）

称为第三类边界条件，又称为混合边界问题：

（1）对于边界上的某一点，不可同时适用于两类边界条件，否则会求解出不同的f(s)

（2）但对于边界上的不同点，可以分别适用不同的边界条件

求体积V里面的电场分布，问是否存在不同的φ1，φ2为所求的电场

反证法证明：

第一步：

假设存在不同的φ1，φ2，由边界条件得

取u=φ1-φ2，那么

第二步：

对于式(1)

那么u对x的偏导、u对y的偏导、u对z的偏导，不可能同时都大于0或者同时都小于0，否则三者之和不可能为0

又因为

函数如果在某一点取极大值，一阶导=0，二阶导0

所以在边界上，存在u对x,y,z的二阶偏导大于零或小于零，即在边界上存在u的极大值或极小值

对于式（2）

在边界上处处u=0

即边界上的u最大值、最小值都为0

综上，u恒等于0

第三步：

u=0，即φ1=φ2

所以，不存在不同的φ1，φ2，同时满足边界条件

结论：只要找到符合条件的

那么这个ε、ρ就能用来描述体积V里面的电场分布。

（这个ε、ρ可以计算求得，甚至可以靠猜求得，只要满足公式，即可以用来描述电场分布，这就是唯一性定理的意义）

平行板电容器d，求电场分布

第一步：

（分析静电场问题，要养成习惯，从边值条件出发）

电场分布只和x方向有关

 由式（1）可得

代入式（2）、（3）可求得B、C

又因为

所以

结论：如果没有自由电荷即ρ=0，那么E=U/d，剩下的电荷就是极板上的