足彩胜率与赌徒输光问题

原文出处: 李永乐老师的短视频分享

感谢李永乐老师！

赌徒输光问题

假设有一种游戏是公平的, 一个赌徒A有50%的概率赢1元, 50%的概率输1元 , 假设赌徒A的本金为X元, A想赢到Y元,

假设A一直玩下去,直到以下两种情况：

    （1）A输到0元     （2）A赢到Y 元

借用一个数轴表示从0 元到 Y 元, 赌徒输光的概率 输光概率 金额     0    1    2    ...    X-1       X         X+1    ...     Y 输光概率             1                    P(X-1)    P(X)    P(X+1)         0

A的本金从X到X-1 的概率是50%, 从X到X+1 的概率是50%

那么

设赌徒A有n 元时, 输光的概率为P(n), 则:

P(n) = 0.5 * P(n-1) + 0.5 * P(n+1) 两边乘以2

2P(n) = P(n-1) + P(n+1) 移项

P(n)-P(n-1) = P(n+1)-P(n)

后一项减去前一项的差是相等的, 也就是说 P(n)是一个等差数列。而且：

P(0) =1 因为A之前是 有钱的, 现在变成0 元 是输光了, 所以 P(0) = 1

P(Y)=0  因为A的目标是Y元, 所以当A 赢到Y元 就不会继续游戏了, 所以 P(Y) = 0

所以 公差∆P=1/Y

                                                    Y - X

P(X) = 1 – X*∆P = 1 – X/Y = —————

                                                       Y

上边相当于你要赚的钱, 下边相当于你最后要达到的钱

假设A=100元

    Y = 120    P(X) = 20 / 120 = 1/6  你输光的概率为1/6  赢到120的概率为5/6     Y = 200 元  P(X) = 100 / 200 = 1/2  你输光的概率为 50%  赢到200 的概率为 50%     Y = 1000 元 P(X) = 900 / 1000 = 90% 你输光的概率为90%  赢到1000元的概率为10%     Y → ∞ 无穷大 , P(X) 无限接近于1 所以输光是必然的. ————————————————