2.1 一维随机变量

2.1 一维随机变量

顾名思义,随机变量就是“其值随机会而定”的变量, 正如随机 事件是“其发生与否随机会而定”的事件. 机会表现为试验结果, 一 个随机试验有许多可能的结果, 到底出现哪一个要看机会, 即有一 定的概率. 最简单的例子莫如搬骰子, 掷出的点数 \(X\) 是一个随机 变量, 它可以取 \(1, \cdots, 6\) 等 6 个值. 到底是哪一个, 要等抙了骰子以 后才知道. 因此又可以说, 随机变量就是试验结果的函数. 从这一 点看, 它与通常的函数概念又没有什么不同. 把握这个概念的关键 之点在于试验前后之分: 在试验前, 我们不能预知它将取何值, 这 要凭机会, “随机”的意思就在这里,一旦试验后, 取值就确定了. 比 如你在 3 月 31 日买了一张奖券, 到 6 月 30 开奖. 当你买下这张奖 券的后我就对你说: 你中奖的金额 \(X\) 是一个随机变量, 其值要到 6 月 30 日“抽奖试验”做过以后才能知道.

明白了这一点就不难举出一大堆随机变量的例子. 比如,你在 某厂大批产品中随机地抽出 100 个, 其中所含废品数 \(X\); 一月内某 交通路口的事故数 \(X\); 用天平秤量某物体的重量的误差 \(X\); 随意 在市场上买来一架电视机,其使用寿命 \(X\) 等等,都是随机变量.

随机变量的反面是所谓“确定性变量”, 即其取值遵循某种严 格的规律的变量. 例如你以每小时 \(a\) 公里的匀速从某处向东行, 则经 \(t\) 小时后,你距该处 at 公里. 这一点我不待你做完这个试验 (即走了 \(t\) 小时后) 就能准确预知. 在这种理想的条件下,你与该处 的距离 \(X\) 并非随机变量.然而,你的速度必然会受到许多因素,包 括随机性因素的影响, 而成为不能预知的, 这使你在 \(t\) 时间内行走 的距离 \(X\) 成为随机变量. 从绝对的意义讲, 许多通常视为确定性 变量的量, 本质上都有随机性, 只是由于随机性干扰不大, 以至在 所要求的精度之内, 不妨把它作为确定性变量来处理.

再考虑一个打靶的试验. 在靶面上取定一个直角坐标系 \(O x y\), 则命中的位置由其坐标 \((X, Y)\) 来刻画, \(X, Y\) 都是随机变 量, 而 \((X, Y)\) 则称为一个二维随机向量或二维随机变量, 多维随 机向量 \(\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)\) 的意义据此推广. 前面几个例子中的 \(X\) 都是 一维随机变量, 通常就简称随机变量.

关于随机变量 (及向量) 的研究, 是概率论的中心内容. 这是因 为, 对于一个随机试验, 我们所关心的往往是与所研究的特定问题 有关的某个或某些量,而这些量就是随机变量. 当然,有时我们所 关心的是某个或某些特定的随机事件. 例如, 在特定一群人中, 年 收人十万元以上的高收人者, 及年收人在 8000 元以下的低收入 者,各自的比率如何,这看上去像是两个孤立的事件. 可是,若我们 引进一个随机变量的 \(X\) :

则 \(X\) 是我们关心的随机变量. 上述两个事件可分别表为 \(\{X>\) \(10000\}\) 和 \(\{X