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贝塞尔函数
目录贝塞尔函数1、贝塞尔方程及解2、贝塞尔函数的母函数3、贝塞尔函数的性质
1、贝塞尔方程及解
v阶贝塞尔方程: \[x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+\left(x^{2}-v^{2}\right) y=0 \]半奇数阶(l+\(\frac{1}{2}\))贝塞尔方程: \[x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+\left[x^{2}-\left(l+\frac{1}{2}\right)^{2}\right] y=0 \]v阶贝塞尔方程的解: 第一类贝塞尔函数\(J_v(x)=J_n(x)\) \[J_{\pm n}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{m ! \Gamma(\pm n+m+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 m \pm n} \]注:2n不为整数时,n=v,\(J_v(x)\) 和 \(J_{-v}(x)\) 线性无关 第二类贝塞尔函数(诺伊曼函数)\(Y_v(x)=N_v(x)\) \[Y_{v}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{J_v(x) \cos v \pi-J_{-v}(x)}{\sin v \pi} & (v \neq n) \\ \lim _{v \rightarrow \infty} \frac{J_v(x) \cos v \pi-J_{-v}(x)}{\sin v \pi} & (v=n) \end{array}\right. \]\(J_{v}(x)\)和\(Y_{v}(x)\)线性无关,则v阶贝塞尔方程的通解为:\(y=C_{1} J_{v}(x)+C_{2} Y_{v}(x)\) 第三类贝塞尔函数(汉克尔函数)\(H_v^{(1)}(x)\) 和 \(H_v^{(2)}(x)\) \[\left\{\begin{aligned}H_v^{(1)}(x)=J_v(x)+iN_v(x)\\ H_v^{(2)}(x)=J_v(x)-iN_v(x)\end{aligned}\right. \]2、贝塞尔函数的母函数贝塞尔函数的母函数: \[e^{\frac{x}{2}\left(z-\frac{1}{z}\right)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_{n}(x) z^{n} \]贝塞尔函数的递推公式: \[\begin{array}{l} \frac{d}{d x}\left[x^{v} J_{v}(x)\right]=x^{v} J_{v-1}(x) \\\\ \frac{d}{d x}\left[x^{-v} J_{v}(x)\right]=-x^{-v} J_{v+1}(x) \\\\ v J_{v}(x)+x J_{v}^{\prime}(x)=x J_{v-1}(x) \\\\ -v J_{v}(x)+x J_{v}^{\prime}(x)=-x J_{v+1}(x) \\\\ J_{v-1}(x)+J_{v+1}(x)=\frac{2 v}{x} J_{v}(x) \\\\ J_{v-1}(x)-J_{v-1}(x)=2 J_{v}^{\prime}(x) \end{array} \]特例:\(J_0^{\prime}(x)=-J_1(x)\quad\left[x J_1(x)\right]^{\prime}=x J_0(x)\) 注:任意整数阶贝塞尔函数都可以用\(J_0(x)\)和\(J_1(x)\)表示 例题:求不定积分\(\int x J_{2}(x) d x\) 解: \[J_{v-1}(x)+J_{v+1}(x)=\frac{2 v}{x} J_{v}(x)\\\\\ \text{故}\quad J_{2}(x)=\frac{2}{x} J_{1}(x)-J_{0}(x) \\\\ x J_{2}(x)=2 J_{1}(x)-x J_{0}(x) \\\\ \int x J_{2}(x)=2 \int J_{1}(x) d x-\int x J_{0}(x) d x=-2 J_{0}(x)-x J_{1}(x)+C \]3、贝塞尔函数的性质贝塞尔函数的性质: 1)有界性 :\(\left|J_n(x)\right|\leq+\infty\) 2)奇偶性:\(J_n(-x)=(-1)^nJ_n(x)\) 贝塞尔函数零点的性质: 1)有无穷多个对称分布的零点 2)\(J_n(x)\)和\(J_{n+1}(x)\)的零点相间分布 3)\(J_n(x)\)的零点趋于周期分布 半奇数阶贝塞尔函数的特例: \[J_{\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}sinx\\\\ J_{\frac{-1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}cosx \]例题:利用递推公式证明\(J_{\frac{3}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\left[\frac{1}{x}sinx-cosx\right]\) 解: \[J_{v-1}(x)+J_{v+1}(x)=\frac{2 v}{x} J_{v}(x)\\\\ \text{取}v=\frac{1}{2}\text{得:}\quad J_{-\frac{1}{2}}(x)+J_{\frac{3}{2}}(x)=\frac{1}{x} J_{\frac{1}{2}}(x)\\\\ \text{故}\quad J_{\frac{3}{2}}(x)=\frac{1}{x} J_{\frac{1}{2}}(x)-J_{-\frac{1}{2}}(x)\\\\ \text{代入半奇数阶贝塞尔函数的值,得:}\\\\\quad J_{\frac{3}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\left[\frac{1}{x}sinx-cosx\right] \]整理人:刘蓓 审核:辅助线数学公益平台 |
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