检测性能的蒙特卡洛仿真

使用matlab编程，利用蒙特卡洛方法，对一个简单的二元假设检验问题进行仿真，分析不同信噪比下检测器的性能。

通过蒙特卡洛仿真实验，检测性能在不同信噪比下的表现，以验证信噪比对于检测性能的影响。

实验步骤：

1. 设置随机数种子为0，定义参数N=20，M=5000，A=1，SNR = [-15,-10,-5,0,5]。

2. 根据信噪比计算噪声方差sig2，其中SNR = 101og10(A. 2/sig2)。

3. 对于每个信噪比SNR，进行M次实验。

4. 对于每次实验，生成随机噪声n，计算H0下的GLR值和H1下的GLR值。

5. 对于H0下的GLR值，按照升序排序，并计算出不同Pfa下的阈值T。

6. 对于每个阈值T，计算出Pd值，绘制Pfa-Pd曲线。

7. 重复以上步骤，绘制不同信噪比下的Pfa-Pd曲线。

假设检验问题是指根据观测数据，判断某个未知参数或状态属于两个或多个可能的假设中的哪一个。本实验考虑一个二元假设检验问题，即只有两个假设：H0和H1。

假设观测数据为x，它是一个长度为N的向量，每个元素都是一个随机变量。

在H0假设下，x只包含高斯白噪声n；

在H1假设下，x包含一个恒定幅值为A的信号和高斯白噪声n。即：

其中，n服从均值为0，方差为σ2的高斯白噪声。

我们观测到N个采样点x = ( x1 , x2 , . . . , xN )，并且假设A和σ 2都是未知参数。那么，在H0和H1下，x的概率密度函数分别为：

    根据GLRT的原理，我们需要找到使似然函数最大化的参数A 和σ2 ，并计算两个假设下的最大似然函数值Λ0 ​和Λ1 ​

那么，广义似然比(GLR)就是Λ0 ​和Λ1 ​之比，即

为了进行二元假设检验，我们需要设置一个阈值T，使得当GLR>T时判决为H0成立，否则判决为H1成立。这样，我们就可以计算在给定阈值T下，发生假警和漏警的概率。

虚警概率(Pfa)是指在H0成立时错误地判决为H1成立的概率；

漏警概率(Pmd)是指在H1成立时错误地判决为H0成立的概率；

检测概率(Pd)是指在H1成立时正确地判决为H1成立的概率，即Pd=1-Pmd。

由于x是随机变量，所以GLR也是随机变量。因此，在理论上很难求出Pfa和Pd与T之间的精确关系。这时候，我们就可以利用蒙特卡洛仿真方法来进行数值模拟。

% 设定随机数种子为0，保证每次运行结果一致

randn ('seed', 0);

% 信号长度

N=20;

% 模拟次数

M=5000;

% 信号幅值

A=1;

% 信噪比（dB）

SNR = [-15,-10,-5,0,5];

% 计算信噪比对应的方差

sig2 = A.^2./(10.^(SNR/10));

% 遍历不同信噪比

for k =1: length (SNR)

    % 模拟M次

    for i=1:M

        % 生成高斯白噪声（H0）

        n = sig2(k)*randn(1, N);

        x0 = n;

        u0 = mean (x0);

        % 估计H0下的信号方差

        Sig_H0 = 1/N*sum(x0.^2);

        % 估计H1下的信号方差（MLE方法）

        Sig_H1 = 1/N*sum((x0-u0).^2);

        % 计算GLR统计量（H0下）

        GLR0(i)=Sig_H0/Sig_H1;

        % 生成有信号的高斯白噪声（H1）

        x1=A+n;

        u1=mean(x1);

        % 估计H0下的信号方差

        Sig_H0 = 1/N*sum(x1.^2);

        % 估计H1下的信号方差（MLE方法）

        Sig_H1 = 1/N*sum((x1-u1).^2);

        % 计算GLR统计量（H1下）

        GLR1(i) =Sig_H0/Sig_H1;

    end

    % 生成Pfa的取值范围

    Pfa=linspace (10^-3,1,300);

    % 对GLR0进行降序排序

    GLR0=sort(GLR0,'descend');

    % 计算阈值T

    T=GLR0(ceil (Pfa*M));

    % 计算Pd

    for i=1:length(T)

        Pd(i) =length (find (GLR1>T(i)))/M;

    end

    % 绘制ROC曲线

    semilogx(Pfa, Pd,'r*')

    hold on

    xlabel ('Pfa');

    ylabel ('Pd');

end

通过蒙特卡洛仿真实验，得到了不同信噪比下的Pfa-Pd曲线，如下图所示，从图中可以看出，随着信噪比的增加，Pd值逐渐增加，Pfa值逐渐减小，检测性能逐渐提高。

图 5-1 pfa-pd曲线图