在等边△ABC中.点E是AB上的动点.点E与点A.B不重合.点D在CB的延长线上.且EC=ED．(1)如图1.若点E是AB的中点.求证:BD=AE,(2)如图2.若点E不是AB的中点时.(1)中的结论“BD=AE 能否成立?若不成立.请直接写出BD与AE数理关系.若成立.请给予证明． 题目和参考答案――青夏教育精英家教网――

分析 （1）由等边三角形的性质得出AE=BE，∠BCE=30°，再根据ED=EC，得出∠D=∠BCE=30°，再证出∠D=∠DEB，得出DB=BE，从而证出AE=DB；（2）作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE=EF，再证明三角形全等，得出DB=EF，证出AE=DB．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵点E是AB的中点，∴CE平分∠ACB，AE=BE，∴∠BCE=30°，∵ED=EC，∴∠D=∠BCE=30°．∵∠ABC=∠D+∠BED，∴∠BED=30°，∴∠D=∠BED，∴BD=BE．∴AE=DB．（2）解：AE=DB；理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形．∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF．在△DEB和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEB=∠ECF}\\{∠DBE=∠EFC}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，∴△DEB≌△ECF（AAS），∴DB=EF，∴AE=BD．

点评 本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外角以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．