EbN0、SNR换算及误码率公式的理论推导计算

事情的起因源自学长给的MQAM误码率理论曲线，其中有2种曲线，Fig.1 中仿真曲线与理论曲线重合，Fig.2 中在低EbN0的时候出现了不贴合的现象，这让我非常疑惑，于是查找了理论公式的原始推导，网上的命名与定各种各样，非常容易让人混淆，于是在此重新整理出几种理论误码率推导的方法。

Fig.1. BER vs. EbN0 @MQAM Sim,Approx_Theory

Fig.2. BER vs. EbN0 @MQAM Sim,Theory_2

在下面理论推导中需要用到Es和Eb的转换，先把转换公式列出。 E s = E b × l o g 2 ( M ) S N R = E s N 0 = E b N 0 × B i t R a t e B a u d R a t e S N R _ d B = 10 l o g 10 E b N 0 + 10 l o g 10 B i t R a t e B a u d R a t e = E b N 0 _ d B + 10 l o g 10 ( M ) E_s=E_b×log_2(M) \\ SNR=\frac{E_s}{N_0}=\frac{E_b}{N_0}×\frac{BitRate}{BaudRate} \\SNR\_{dB}=10log_{10}\frac{Eb}{N_0}+10log_{10}\frac{BitRate}{BaudRate}=EbN0\_dB+10log_{10}(M) Es​=Eb​×log2​(M)SNR=N0​Es​​=N0​Eb​​×BaudRateBitRate​SNR_dB=10log10​N0​Eb​+10log10​BaudRateBitRate​=EbN0_dB+10log10​(M) 实际应用中要分清

本文推导前提是AWGN信道

这里直接给出第一种理论公式，这种公式的推导比较复杂，这里不作具体研究。 P b ≈ 2 l o g 2 M ⋅ ( 1 − 1 M ) ⋅ e r f c ( 3 S N R 2 ( M − 1 ) ) P_{\mathrm{b}}\approx \frac{2}{log_2M}\cdot \left( 1-\frac{1}{\sqrt{M}} \right) \cdot erfc\left( \sqrt{\frac{3SNR}{2(M-1)}} \right) Pb​≈log2​M2​⋅(1−M ​1​)⋅erfc(2(M−1)3SNR​ ​) 特例是，当M=2或4，也就是BPSK和QPSK的情况，上式可以取等号，也就是说此时不是近似公式，而恰好是理想公式。

Fig.3. BPSK 高斯噪声分布函数

单个符号错误概率，例如S0误码为S1的概率为 P S 0 = P ( n ≥ d 2 ) = ∫ d 2 ∞ 1 2 π σ 2 e − n 2 2 σ 2 d n = ∫ d 2 σ ∞ 1 2 π e − t 2 2 d t ( n σ = t , d n = σ d t ) = Q ( d 2 σ ) \begin{aligned} P_{S0}=P(n\ge \frac{d}{2})&=\int_{\frac{d}{2}}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}}e^{-\frac{n^2}{2\sigma ^2}}dn\\ &=\int_{\frac{d}{2\sigma}}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}e^{\frac{-t^2}{2}}dt\quad (\frac{n}{\sigma}=t,dn=\sigma dt)\\ &=Q(\frac{d}{2\sigma})\\ \end{aligned} PS0​=P(n≥2d​)​=∫2d​∞​2πσ2 ​1​e−2σ2n2​dn=∫2σd​∞​2π ​1​e2−t2​dt(σn​=t,dn=σdt)=Q(2σd​)​ 其中, Q为高斯错误概率函数, 满足等式 Q ( x ) = 1 2 e r f c ( x 2 ) Q\left( x \right) =\frac{1}{2}erfc\left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) Q(x)=21​erfc(2 ​x​) 符号的平均能量, 也就是星座图的平均功率Es E s = 1 2 ( ( d 2 ) 2 + ( d 2 ) 2 ) = d 2 4 E_s=\frac{1}{2}((\frac{d}{2})^2+(\frac{d}{2})^2)=\frac{d^2}{4} Es​=21​((2d​)2+(2d​)2)=4d2​ 推得 d = 2 E s d=2\sqrt{E_s} d=2Es​ ​ 用概率权重求整体误符号率Ps P S = 1 2 P S 0 + 1 2 P S 1 = Q ( d 2 σ ) P_S=\frac{1}{2}P_{S0}+\frac{1}{2}P_{S1}=Q\left( \frac{d}{2\sigma} \right) PS​=21​PS0​+21​PS1​=Q(2σd​) BPSK一个符号对应一个Bit，所以 P b = P S = 1 2 e r f c E b N 0 P_b=P_S=\frac{1}{2}erfc\sqrt{\frac{E_b}{N_0}} Pb​=PS​=21​erfcN0​Eb​​ ​

Fig.4. QPSK 星座图

与BPSK类似 P S i i ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } = 2 P ( n ≥ d / 2 ) − P 2 ( n ≥ d / 2 ) = 2 Q ( d 2 σ ) − Q 2 ( d 2 σ ) \underset{i\in \left\{ 0,1,2,3 \right\}}{P_{S_i}}=2P(n\ge d/2)-P^2(n\ge d/2)=2Q(\frac{d}{2\sigma})-Q^2(\frac{d}{2\sigma}) i∈{0,1,2,3}PSi​​​=2P(n≥d/2)−P2(n≥d/2)=2Q(2σd​)−Q2(2σd​) E s = 1 4 × 4 × ( 2 d 2 ) 2 = d 2 2 E_s=\frac{1}{4}\times 4\times \left( \frac{\sqrt{2}d}{2} \right) ^2=\frac{d^2}{2} Es​=41​×4×(22 ​d​)2=2d2​ d = 2 E s d=\sqrt{2E_s} d=2Es​ ​ P S = 2 Q ( d 2 σ ) − Q 2 ( d 2 σ ) P_S=2Q(\frac{d}{2\sigma})-Q^2(\frac{d}{2\sigma}) PS​=2Q(2σd​)−Q2(2σd​) P S = e r f c E b N 0 − 1 4 e r f c 2 E b N 0 P_S=erfc\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}-\frac{1}{4}erfc^2\sqrt{\frac{E_b}{N_0}} PS​=erfcN0​Eb​​ ​−41​erfc2N0​Eb​​ ​ 到这里，前面都与BPSK类似，但是对于二维的信号，Ps与Pb满足下式，该式其实是定义是，是最准确的公式 P s = 1 − ( 1 − P b ) N P_s=1-(1-P_b)^N Ps​=1−(1−Pb​)N 其中 N = log ⁡ 2 M N=\log _2M N=log2​M 该式泰勒展开,在Pb足够小时，展开到一次项,得到近似关系 P s = P b log ⁡ 2 M P_s=P_b\log _2M Ps​=Pb​log2​M 于是QPSK的误码率可以推到 P b = 1 2 e r f c E b N 0 − 1 8 e r f c 2 E b N 0 P_b=\frac{1}{2}erfc\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}-\frac{1}{8}erfc^2\sqrt{\frac{E_b}{N_0}} Pb​=21​erfcN0​Eb​​ ​−81​erfc2N0​Eb​​ ​

首先从前面的定义式反推出 P b = 1 − 1 − P s N P_b=1-\sqrt[N]{1-P_s} Pb​=1−N1−Ps​ ​ 这是最准确的关系式，如果在仿真中使用足够长的序列，最后的性能曲线会趋近于该式算出的结果。下表是前面提到的3种理论BER计算方式，Sim代表定义式，也就是仿真所趋近的实际值，Theory-1是2.1节提出的近似式，Theory-2是在2.2节推导出的式子，16QAM不做详细推导，具体可以参考： M-QAM的SER/BER/误码率计算 三个方式的关系为，Sim是最准确的公式表达，Theory-1是通过积分推导得到的近似公式，Theory-2是泰勒展开得到，但弊端是在高信噪比的时候才更加准确，否则需要展开出更多项来逼近真实值。

仿真代码链接：https://download.csdn.net/download/qq_26157161/88886758