变限积分@积分上限的函数及其导数@微积分第一基本定理@原函数存在定理

2024-06-16 07:42| 来源: 网络整理| 查看: 265

如果 f ( x ) f(x) f(x)在区间 D = [ a , b ] D=[a,b] D=[a,b]上除了点 x = x 0 ∈ ( a , b ) x=x_0\in(a,b) x=x0∈(a,b)外均连续,而在 x = x 0 x=x_0 x=x0处 f ( x ) f(x) f(x)有跳跃间断点(即 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处的左右极限都存在但不相等: lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) = f ( x 0 − ) \lim\limits_{x\to{x_0^{-}}}f(x)=f(x_0^{-}) x→x0−limf(x)=f(x0−), lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) = f ( x 0 + ) \lim\limits_{x\to{x_0^{+}}}f(x)=f(x_0^{+}) x→x0+limf(x)=f(x0+), f ( x 0 − ) ≠ f ( x 0 + ) f(x_0^{-})\neq{f(x_0^{+})} f(x0−)=f(x0+))

令 F ( x ) = ∫ c x f ( t ) d t F(x)=\int_{c}^{x}f(t)\mathrm{d}t F(x)=∫cxf(t)dt, c ∈ [ a , b ] c\in[a,b] c∈[a,b], x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x∈[a,b]则有结论

F ( x ) 在 [ a , b ] F(x)在[a,b] F(x)在[a,b]上连续 F ′ ( x ) = f ( x ) , x ∈ [ a , b ] , x ≠ x 0 F'(x)=f(x),x\in[a,b],x\neq{x_0} F′(x)=f(x),x∈[a,b],x=x0 F − ′ ( x 0 ) = f ( x 0 − ) , F + ′ ( x 0 ) = f ( x 0 + ) F'_{-}(x_0)=f(x_0^-),F'_{+}(x_0)=f(x_0^{+}) F−′(x0)=f(x0−),F+′(x0)=f(x0+),即,间断点 x 0 x_0 x0处原函数的左导数等于 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0的左极限,原函数右导数等于 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0右极限

例,分段函数 f ( x ) f(x) f(x)= sin ⁡ x \sin{x} sinx, ( x ⩽ 0 ) (x\leqslant{0}) (x⩽0); f ( x ) = e x f(x)=e^{x} f(x)=ex, ( x > 0 ) (x>0) (x>0),我们研究其在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infin,+\infin) (−∞,+∞)区间上的原函数性质

任取 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infin,+\infin) (−∞,+∞)中的某点 c c c,不妨取 c = − π c=-\pi c=−π,并记 F ( x ) F(x) F(x)= ∫ − π x f ( t ) d t \int_{-\pi}^{x}f(t)\mathrm{d}t ∫−πxf(t)dt由分段函数的积分: F ( x ) F(x) F(x) = ∫ − π x sin ⁡ t d t \int_{-\pi}^{x}\sin{t}\mathrm{d}t ∫−πxsintdt= − cos ⁡ x ∣ − π x -\cos{x}|_{-\pi}^{x} −cosx∣−πx= − [ cos ⁡ ] − π x -[\cos]_{-\pi}^{x} −[cos]−πx= − ( cos ⁡ x + 1 ) -(\cos{x}+1) −(cosx+1)= − cos ⁡ x − 1 -\cos{x}-1 −cosx−1, ( x ⩽ 0 ) (x\leqslant{0}) (x⩽0)= ∫ − π 0 sin ⁡ t d t \int_{-\pi}^{0}\sin{t}\mathrm{d}t ∫−π0sintdt+ ∫ 0 x e t d t \int_{0}^{x}e^{t}\mathrm{d}t ∫0xetdt= [ − cos ⁡ x − 1 ] ∣ x = 0 [-\cos{x}-1]|_{x=0} [−cosx−1]∣x=0+ e x ∣ 0 x e^{x}|_{0}^{x} ex∣0x= − 2 -2 −2+ e x − 1 e^{x}-1 ex−1= e x − 3 e^{x}-3 ex−3, ( x > 0 ) (x>0) (x>0)显然 F ( x ) F(x) F(x)在两个区间内各自连续,且在 x = 0 x=0 x=0处连续,因为 F ( 0 − ) F(0^{-}) F(0−)= F ( 0 + ) F(0^{+}) F(0+)= F ( 0 ) F(0) F(0),因此 F ( x ) F(x) F(x)在 ( − ∞ , ∞ ) (-\infin,\infin) (−∞,∞)上连续

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