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泊松过程因为状态离散，因而不再用相关函数来进行刻画，转而用概率进行刻画。其严格定义此处不赘述，很容易查到，概括如下 泊松过程的条件对于一个记数过程N(t)，满足下面四个条件时称之为泊松过程 N(0)=0N(t)为独立增量过程N(t)为平稳增量过程N(t)有稀疏性，即在一个充分小的时间段 Δ t \Delta t Δt内，不可能记数两次对一个二项分布，它有参数n和参数p，当p很小而n很大时，二项分布会变成泊松分布。泊松分布的刻画是: 等待一个稀有事件的发生。从而对于泊松过程来说，"跳动"就是一个稀有事件的发生 泊松过程的四个条件中，后三个条件其实很严格。如果放松这些条件，会得到一些推广的泊松过程，认识这些过程有助于理解泊松过程 因为泊松过程是初值给定的独立增量过程，因而也是Markov过程 P { N ( s + t ) − N ( s ) = k } = P { N ( t ) = k } = ( λ t ) k k ! e − λ t , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ P\{N(s+t)-N(s)=k\}=P\{N(t)=k\}=\frac{(\lambda t)^{k}}{k !} e^{-\lambda t}, k=0,1,2, \cdots P{N(s+t)−N(s)=k}=P{N(t)=k}=k!(λt)ke−λt,k=0,1,2,⋯ E { N ( t ) } = λ t E\{N(t)\}=\lambda t E{N(t)}=λt 研究泊松过程一定要利用好其独立增量性，例如上述等式中的第一个等号 泊松过程的拓广 放松平稳性。现在来看没有平稳性的泊松过程:什么叫平稳性？直观来看，就是稀有事件(跳跃)的发生概率保持不变，“事件的发生强度不变”，这就是平稳性。 如果泊松过程的"强度"在发生变化，即参数 λ \lambda λ是时变的 λ ( t ) \lambda (t) λ(t)，就称之为非齐次平稳过程 如果对泊松过程的稀疏性进行放松，即要求一个 ϵ \epsilon ϵ 时间内，发生事件的次数为1次或多次，就会得到复合泊松过程对于独立增量性的放松会导致泊松过程变化很大，有几种不同的变化方式 让泊松过程的强度 λ \lambda λ 为一个随机变量，得到随即参数泊松过程让泊松过程的强度在事件发生前后产生一种随事件变化的影响，这个拓广可以用泊松过程通过LTI系统来描述，得到过滤的泊松过程 泊松过程与指数过程泊松过程跳跃的间隔长度服从指数分布 { S n } \left\{S_{n}\right\} {Sn} 是第 n \mathrm{n} n 个事件发生的时刻 { X ( n ) = S n − S n − 1 } \left\{X(n)=S_{n}-S_{n-1}\right\} {X(n)=Sn−Sn−1} 表示第n-1个事件和第n个事件发生的时间间隔，也就是第 n − 1 \mathrm{n}-1 n−1 个事件的寿 命。 { N ( t ) } \{N(t)\} {N(t)} 是强度为 λ \lambda λ 的时齐poisson过程 ⟺ { X ( n ) } \Longleftrightarrow\{X(n)\} ⟺{X(n)} 是独立且参数同为 λ \lambda λ 的指数分布。 P { N ( t ) = k } = ( λ t ) k k ! e − λ t , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ P\{N(t)=k\}=\frac{(\lambda t)^{k}}{k !} e^{-\lambda t}, k=0,1,2, \cdots P{N(t)=k}=k!(λt)ke−λt,k=0,1,2,⋯ P { X ( n ) ≤ x } = 1 − e − λ x , x ≥ 0 P\{X(n) \leq x\}=1-e^{-\lambda x}, x \geq 0 P{X(n)≤x}=1−e−λx,x≥0 |
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