线性代数学习笔记（三）

本篇文章首先引入行列式转置的概念，然后逐一给出了行列式的七个基本性质，需要注意的是：对行成立的性质对列也同样成立。最后强调了性质7的重要性，并总结了在做题过程中的规范和注意事项。

将行列式的行做成列，转置记作： D T D^T DT或 D ’ D^’ D’（T表示Transformers）。 D = ∣ 1 2 3 1 1 1 8 8 8 ∣ D=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 1&1&1\\ 8&8&8\\ \end{vmatrix} D= ​118​218​318​ ​

D T = ∣ 1 1 8 2 1 8 3 1 8 ∣ D^T=\begin{vmatrix} 1&1&8\\ 2&1&8\\ 3&1&8\\ \end{vmatrix} DT= ​123​111​888​ ​

对行列式转置之后再转置等于原行列式，即 ( D T ) T = D (D^T)^T=D (DT)T=D。可以发现，对行列式求 2 n ( n ≥ 1 ) 2n(n≥1) 2n(n≥1)次转置仍然等原行列式。

行列式转置，值不变，即 D T = D D^T=D DT=D（对行成立的性质对列也成立）。

举例： D = ∣ ① 2 3 4 1 1 1 ⑥ 2 ⑧ 8 8 9 9 ⑨ 3 ∣ D=\begin{vmatrix} ①&2&3&4\\ 1&1&1&⑥\\ 2&⑧&8&8\\ 9&9&⑨&3\\ \end{vmatrix} D= ​①129​21⑧9​318⑨​4⑥83​ ​

行列式 D D D中 ①⑥⑧⑨ ①⑥⑧⑨ ①⑥⑧⑨项的行标为4级标准排列 1234 1234 1234，列标排列为 1423 1423 1423，所以为该项使用第一种定义展开： ( − 1 ) N ( 1432 ) 1 × 6 × 8 × 9 (-1)^{N(1432)}1×6×8×9 (−1)N(1432)1×6×8×9。

D T = ∣ ① 1 2 9 2 1 ⑧ 9 3 1 8 ⑨ 4 ⑥ 8 3 ∣ D^T=\begin{vmatrix} ①&1&2&9\\ 2&1&⑧&9\\ 3&1&8&⑨\\ 4&⑥&8&3\\ \end{vmatrix} DT= ​①234​111⑥​2⑧88​99⑨3​ ​

转置行列式 D T D^T DT中 ①⑥⑧⑨ ①⑥⑧⑨ ①⑥⑧⑨项的行标排列为 1423 1423 1423，列为4级标准排列 1234 1234 1234，所以为该项使用第二种定义展开： ( − 1 ) N ( 1432 ) 1 × 6 × 8 × 9 (-1)^{N(1432)}1×6×8×9 (−1)N(1432)1×6×8×9。

不难发现，行列式 D D D和其转置行列式 D T D^T DT中的 ①⑥⑧⑨ ①⑥⑧⑨ ①⑥⑧⑨项的值相同，可以推出，其他各项值也会完全相同，故 D T = D D^T=D DT=D。

行列式两行互换，值变号。

举例（交换行列式 D 1 D_1 D1​中的1、3行变成行列式 D 2 D_2 D2​）： D 1 = ∣ 1 ② 3 4 5 6 ⑦ 8 9 10 11 ⑫ ⑬ 14 15 16 ∣ D_1=\begin{vmatrix} 1&②&3&4\\ 5&6&⑦&8\\ 9&10&11&⑫\\ ⑬&14&15&16\\ \end{vmatrix} D1​= ​159⑬​②61014​3⑦1115​48⑫16​ ​

行列式 D 1 D_1 D1​中 ②⑦⑫⑬ ②⑦⑫⑬ ②⑦⑫⑬项的行标排列为4级标准排列 1234 1234 1234，列标为 2341 2341 2341，所以为该项使用第一种定义展开： ( − 1 ) N ( 2341 ) 2 × 7 × 12 × 13 (-1)^{N(2341)}2×7×12×13 (−1)N(2341)2×7×12×13。

D 2 = ∣ 9 10 11 ⑫ 5 6 ⑦ 8 1 ② 3 4 ⑬ 14 15 16 ∣ D_2=\begin{vmatrix} 9&10&11&⑫\\ 5&6&⑦&8\\ 1&②&3&4\\ ⑬&14&15&16\\ \end{vmatrix} D2​= ​951⑬​106②14​11⑦315​⑫8416​ ​

行列式 D 2 D_2 D2​中 ②⑦⑫⑬ ②⑦⑫⑬ ②⑦⑫⑬项的行标排列为 3214 3214 3214，列标排列为 2341 2341 2341，所以为该项使用第三种定义展开： ( − 1 ) N ( 3214 ) + N ( 2341 ) 2 × 7 × 12 × 13 (-1)^{N(3214)+N(2341)}2×7×12×13 (−1)N(3214)+N(2341)2×7×12×13。

不难发现，行列式 D 1 D_1 D1​和行列式 D 2 D_2 D2​对于 ②⑦⑫⑬ ②⑦⑫⑬ ②⑦⑫⑬项差一个 ( − 1 ) N ( 3214 ) (-1)^{N(3214)} (−1)N(3214)因数，而 N ( 3214 ) = 2 + 1 + 0 + 0 = 3 N(3214)=2+1+0+0=3 N(3214)=2+1+0+0=3是一个奇排列，故该项相差一个负号，同理可以推出，其他各项也相差一个负号，所以 D 1 = − D 2 D_1=-D_2 D1​=−D2​。

行列式两行（或两列）对应相等，行列式等于零。

举例（交换行列式 D 1 D_1 D1​中的1、3行变成行列式 D 2 D_2 D2​）： D 1 = ∣ ② ③ ④ ⑤ 1 0 0 0 ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 8 8 8 1 ∣ D_1=\begin{vmatrix} ②&③&④&⑤\\ 1&0&0&0\\ (2)&(3)&(4)&(5)\\ 8&8&8&1\\ \end{vmatrix} D1​= ​②1(2)8​③0(3)8​④0(4)8​⑤0(5)1​ ​

D 2 = ∣ ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 1 0 0 0 ② ③ ④ ⑤ 8 8 8 1 ∣ D_2=\begin{vmatrix} (2)&(3)&(4)&(5)\\ 1&0&0&0\\ ②&③&④&⑤\\ 8&8&8&1\\ \end{vmatrix} D2​= ​(2)1②8​(3)0③8​(4)0④8​(5)0⑤1​ ​

由于行列式第1行和第3行相等，所以交换之后仍然和原行列式完全一样，即： D 1 = D 2 D_1=D_2 D1​=D2​，但根据性质2可知： D 1 = − D 2 D_1=-D_2 D1​=−D2​，所以： D 1 = − D 1 D_1=-D_1 D1​=−D1​，推出： 2 D 1 = 0 2D_1=0 2D1​=0，即： D 1 = 0 D_1=0 D1​=0。

行列式 D D D某一行（或列）元素都乘以数 k k k，等于用 k k k乘以行列式 D D D。

∣ 1 2 3 4 k 5 k 6 k 7 8 9 ∣ = k ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣ \begin{vmatrix} 1&2&3\\ 4k&5k&6k\\ 7&8&9\\ \end{vmatrix}=k\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{vmatrix} ​14k7​25k8​36k9​ ​=k ​147​258​369​ ​

推论： 行列式某一行（或列）都有公因子 k k k，则 k k k可以提到外面去。

注意：如果 n n n阶行列式所有元素均有公因子 k k k，则可以提 k n k^n kn到外面去。

∣ 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9 k ∣ = k 3 ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣ \begin{vmatrix} 1k&2k&3k\\ 4k&5k&6k\\ 7k&8k&9k\\ \end{vmatrix}=k^3\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{vmatrix} ​1k4k7k​2k5k8k​3k6k9k​ ​=k3 ​147​258​369​ ​

行列式两行（或两列）对应成比例，行列式等于零。

D = ∣ 1 2 3 1 1 1 8 8 8 ∣ D=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 1&1&1\\ 8&8&8\\ \end{vmatrix} D= ​118​218​318​ ​

上述行列式第3行是第2行的8倍，即：

∣ 1 2 3 1 1 1 1 × 8 1 × 8 1 × 8 ∣ = 8 ∣ 1 2 3 1 1 1 1 1 1 ∣ \begin{vmatrix} 1&2&3\\ 1&1&1\\ 1×8&1×8&1×8\\ \end{vmatrix}=8\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 1&1&1\\ 1&1&1\\ \end{vmatrix} ​111×8​211×8​311×8​ ​=8 ​111​211​311​ ​

根据性质3可知，行列式两行对应相等，行列式的值为零。

推论： 行列式某一行（或列）全为0，则行列式等于零。

∣ x x x 0 0 0 x x x ∣ = 0 \begin{vmatrix} x&x&x\\ 0&0&0\\ x&x&x\\ \end{vmatrix}=0 ​x0x​x0x​x0x​ ​=0

1、可以根据性质4推论进行理解，即提取公因子0，则0提到外面后乘以行列式肯定等于0； 2、还可以根据行列式展开的定义来理解，展开项不同行不同列取到的元素肯定会包含0，所以行列式必然等于零。

性质3可以理解为性质5的特例，即两行（列）对应相等可以看成比例为1。

通过以上几个性质可知： ① 行列式两行（列）对应成比例； ② 行列式两行（列）相等； ③ 行列式某行全为0。 可以推出行列式等于零。

那么反过来，如果行列式等于0，是否上述三个条件必有一个成立呢？ 答案是否定的。

∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣ = 0 \begin{vmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{vmatrix}=0 ​147​258​369​ ​=0

后面通过性质7可以验证。

行列式某行（列）如果是两个数之和，则此行列式可以表示两个行列式相加。

∣ 1 2 3 7 + 8 2 + 3 9 + 10 7 8 9 ∣ = ∣ 1 2 3 7 2 9 7 8 9 ∣ + ∣ 1 2 3 8 3 10 7 8 9 ∣ \begin{vmatrix} 1&2&3\\ 7+8&2+3&9+10\\ 7&8&9\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 7&2&9\\ 7&8&9\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 8&3&10\\ 7&8&9\\ \end{vmatrix} ​17+87​22+38​39+109​ ​= ​177​228​399​ ​+ ​187​238​3109​ ​

举例： ∣ b + c c + a a + b a + b b + c c + a c + a a + b b + c ∣ \begin{vmatrix} b+c&c+a&a+b\\ a+b&b+c&c+a\\ c+a&a+b&b+c\\ \end{vmatrix} ​b+ca+bc+a​c+ab+ca+b​a+bc+ab+c​ ​

解：原式 = ∣ b c a a + b b + c c + a c + a a + b b + c ∣ + ∣ c a b a + b b + c c + a c + a a + b b + c ∣ = ∣ b c a a b c c + a a + b b + c ∣ + ∣ b c a b c a c + a a + b b + c ∣ + ∣ c a b a b c c + a a + b b + c ∣ + ∣ c a b b c a c + a a + b b + c ∣ = ∣ b c a a b c c a b ∣ + ∣ b c a a b c a b c ∣ + ∣ b c a b c a c a b ∣ + ∣ b c a b c a a b c ∣ + ∣ c a b a b c c a b ∣ + ∣ c a b a b c a b c ∣ + ∣ c a b b c a c a b ∣ + ∣ c a b b c a a b c ∣ =\begin{vmatrix} b&c&a\\ a+b&b+c&c+a\\ c+a&a+b&b+c\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a&b\\ a+b&b+c&c+a\\ c+a&a+b&b+c\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} b&c&a\\ a&b&c\\ c+a&a+b&b+c\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b&c&a\\ b&c&a\\ c+a&a+b&b+c\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a&b\\ a&b&c\\ c+a&a+b&b+c\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a&b\\ b&c&a\\ c+a&a+b&b+c\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} b&c&a\\ a&b&c\\ c&a&b\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b&c&a\\ a&b&c\\ a&b&c\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b&c&a\\ b&c&a\\ c&a&b\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b&c&a\\ b&c&a\\ a&b&c\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a&b\\ a&b&c\\ c&a&b\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a&b\\ a&b&c\\ a&b&c\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a&b\\ b&c&a\\ c&a&b\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a&b\\ b&c&a\\ a&b&c\\ \end{vmatrix} = ​ba+bc+a​cb+ca+b​ac+ab+c​ ​+ ​ca+bc+a​ab+ca+b​bc+ab+c​ ​= ​bac+a​cba+b​acb+c​ ​+ ​bbc+a​cca+b​aab+c​ ​+ ​cac+a​aba+b​bcb+c​ ​+ ​cbc+a​aca+b​bab+c​ ​= ​bac​cba​acb​ ​+ ​baa​cbb​acc​ ​+ ​bbc​cca​aab​ ​+ ​bba​ccb​aac​ ​+ ​cac​aba​bcb​ ​+ ​caa​abb​bcc​ ​+ ​cbc​aca​bab​ ​+ ​cba​acb​bac​ ​

行列式某一行（列）的所有元素，乘以数 k k k加到另一行（列）上去，行列式的值不变。

举例： ∣ ① ② ③ 1 1 0 9 9 10 ∣ \begin{vmatrix} ①&②&③\\ 1&1&0\\ 9&9&10\\ \end{vmatrix} ​①19​②19​③010​ ​

将第1行乘以5加到第2行：

∣ ① ② ③ 1 + ① × ( 5 ) 1 + ② × ( 5 ) 0 + ③ × ( 5 ) 9 9 10 ∣ \begin{vmatrix} ①&②&③\\ 1+①×(5)&1+②×(5)&0+③×(5)\\ 9&9&10\\ \end{vmatrix} ​①1+①×(5)9​②1+②×(5)9​③0+③×(5)10​ ​

根据性质6可知，上述行列式可以写成以下两个行列式相加：

∣ ① ② ③ 1 1 0 9 9 10 ∣ + ∣ ① ② ③ ① × ( 5 ) ② × ( 5 ) ③ × ( 5 ) 9 9 10 ∣ \begin{vmatrix} ①&②&③\\ 1&1&0\\ 9&9&10\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} ①&②&③\\ ①×(5)&②×(5)&③×(5)\\ 9&9&10\\ \end{vmatrix} ​①19​②19​③010​ ​+ ​①①×(5)9​②②×(5)9​③③×(5)10​ ​

又根据性质5可知，上述第二个行列式第1行和第2行成比例值为零。而第一个行列式就是原来的行列式，所以原行列式的值为变。

例1：求行列式 D = ∣ 1 2 0 1 2 3 10 0 0 3 5 18 5 10 15 4 ∣ D=\begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 2&3&10&0\\ 0&3&5&18\\ 5&10&15&4\\ \end{vmatrix} D= ​1205​23310​010515​10184​ ​的值。

思路：将行列式通过性质7化为上三角形式，主对角线元素乘积即为行列式的值。 解：第1行元素×(-2)加到第2行上去： = ∣ 1 2 0 1 2 + 1 × ( − 2 ) 3 + 2 × ( − 2 ) 10 + 0 × ( − 2 ) 0 + 1 × ( − 2 ) 0 3 5 18 5 10 15 4 ∣ = ∣ 1 2 0 1 0 − 1 10 − 2 0 3 5 18 5 10 15 4 ∣ =\begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 2+1×(-2)&3+2×(-2)&10+0×(-2)&0+1×(-2)\\ 0&3&5&18\\ 5&10&15&4\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 0&-1&10&-2\\ 0&3&5&18\\ 5&10&15&4\\ \end{vmatrix} = ​12+1×(−2)05​23+2×(−2)310​010+0×(−2)515​10+1×(−2)184​ ​= ​1005​2−1310​010515​1−2184​ ​

第1行元素×(-5)加到第4行上去： = ∣ 1 2 0 1 0 − 1 10 − 2 0 3 5 18 5 + 1 × ( − 5 ) 10 + 2 × ( − 5 ) 15 + 0 × ( − 2 ) 4 + 1 × ( − 5 ) ∣ = ∣ 1 2 0 1 0 − 1 10 − 2 0 3 5 18 0 0 15 − 1 ∣ =\begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 0&-1&10&-2\\ 0&3&5&18\\ 5+1×(-5)&10+2×(-5)&15+0×(-2)&4+1×(-5)\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 0&-1&10&-2\\ 0&3&5&18\\ 0&0&15&-1\\ \end{vmatrix} = ​1005+1×(−5)​2−1310+2×(−5)​010515+0×(−2)​1−2184+1×(−5)​ ​= ​1000​2−130​010515​1−218−1​ ​

第2行元素×3加到第3行上去： = ∣ 1 2 0 1 0 − 1 10 − 2 0 + 0 × 3 3 + ( − 1 ) × 3 5 + 10 × 3 18 + ( − 2 ) × 3 0 0 15 − 1 ∣ = ∣ 1 2 0 1 0 − 1 10 − 2 0 0 35 12 0 0 15 − 1 ∣ =\begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 0&-1&10&-2\\ 0+0×3&3+(-1)×3&5+10×3&18+(-2)×3\\ 0&0&15&-1\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 0&-1&10&-2\\ 0&0&35&12\\ 0&0&15&-1\\ \end{vmatrix} = ​100+0×30​2−13+(−1)×30​0105+10×315​1−218+(−2)×3−1​ ​= ​1000​2−100​0103515​1−212−1​ ​

第4列元素×15加到第3列上去： = ∣ 1 2 0 + 1 × 15 1 0 − 1 10 + ( − 2 ) × 15 − 2 0 0 35 + 12 × 15 12 0 0 15 + ( − 1 ) × 15 − 1 ∣ = ∣ 1 2 15 1 0 − 1 − 20 − 2 0 0 215 12 0 0 0 − 1 ∣ = 1 × ( − 1 ) × 215 × ( − 1 ) = 215 =\begin{vmatrix} 1&2&0+1×15&1\\ 0&-1&10+(-2)×15&-2\\ 0&0&35+12×15&12\\ 0&0&15+(-1)×15&-1\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} 1&2&15&1\\ 0&-1&-20&-2\\ 0&0&215&12\\ 0&0&0&-1\\ \end{vmatrix}\\ =1×(-1)×215×(-1)\\ =215 = ​1000​2−100​0+1×1510+(−2)×1535+12×1515+(−1)×15​1−212−1​ ​= ​1000​2−100​15−202150​1−212−1​ ​=1×(−1)×215×(−1)=215

例2：求行列式 D = ∣ 8 2 0 1 1 3 10 0 9 3 5 18 3 10 15 4 ∣ D=\begin{vmatrix} 8&2&0&1\\ 1&3&10&0\\ 9&3&5&18\\ 3&10&15&4\\ \end{vmatrix} D= ​8193​23310​010515​10184​ ​的值。

分析：如果按照例1的思路，需要使用第1行依次将2、3、4行的左下角元素变为0，即：第1行元素 × ( − 1 8 ) ×(-\frac{1}{8}) ×(−81​)加到第2行，第1行元素 × ( − 9 8 ) ×(-\frac{9}{8}) ×(−89​)加到第3行，第1行元素 × ( − 3 8 ) ×(-\frac{3}{8}) ×(−83​)加到第4行等，但分数计算时非常复杂，而且容易出错，不推荐此类方法。此题可以先交换第1列和第2行（注意交换两行行列式要变号），再用交换后左上角的 1 1 1去将其他行左下角元素变为0。

做题规范： ① 统一化为上三角形式（因为下三角转置后就是上三角）； ② 先处理第1列，再第2列，依次处理第n列； ③ 第1列处理完后，第1行不再参与后续运算，后续同理； ④ 可以说：“第 m m m行 × k ×k ×k加到第 n n n行上去”或“第 m m m行加到第 n n n行上去”，不能说：“第 m m m行减去第 n n n行”。

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_1.2 行列式的性质