欧拉公式（有关三角形的内外心距离）

其中的(R+d)(R-d)正是直径GH被内心I分成的两段IG和HI的乘积：HI · IG。于是，我们只需证明线段AI与IE的乘积等于2Rr即可，即：

（2）如下图所示。连接外接圆上的点E与外接圆圆心O，得线段EO，并延长，与外接圆相交于点F。于是，EF为外接圆的直径，长度为2R。连接FC，连接EC，得到三角形CEF（图中内部为红色的三角形）。再关注三角形AID。

显然，三角形CEF和三角形AID都是直角三角形。并且，

∠DAI=∠CAE ( AI为∠BAC的平分线 )

∠CAE=∠CFE ( 同弦上的圆周角相等 ）

所以

∠DAI=∠CFE

所以，三角形CEF和三角形AID相似。从而有

而EF=2R，DI=r。所以，上式变为：

前面已经说过，只要证明下式即可证明欧拉公式成立。

比较以上两式，可以看出，只要证明 CE = IE 即可。

（3）如上图所示，CE和IE都位于三角形ICE中，所以，我们只要证明三角形ICE是等腰三角形，为此，我们来证明两个底角相等，即

∠EIC=∠ECI

这个不难看出，因为

∠EIC=∠EAC+∠ACI(三角形外角等于不相邻两内角和)

∠ECI=∠ECB+∠BCI

上面两式中标以蓝色的两个角相等。而标以红色的两个角都等于∠EAB。所以，上面两式的左边也相等。从而三角形ICE是等腰三角形，等角对等腰，所以，

CE = IE

上面采取的是倒推证法。最终我们就证明了欧拉公式：返回搜狐，查看更多