证明一元函数有界性的方法

什么是有界函数：

有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。 有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。

此处的可积函数是指函数普通的定积分，广义积分不包括在内。 反之不成立，有界函数不一定可积。

原因如下：

可以假设这样一个函数 f（x）=1（x是有理数的时候）；=0（x是无理数的时候）（该函数为狄利克雷函数） 那么f（x）在x为任意实数的时候，只有1和0两种取值，所以f（x）是有界的。 但是在任意区间内（无论是开区间还是闭区间），都有无数个有理数和无理数。所以f（x）在任意区间内有无数个间断点，所以这个函数在任意区间内不可积。

一元函数中，可导函数即能推出连续，由连续性，使用1，即可推出函数有界。

一元微积分里面，可积