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11. 内生性#
在微观经济分析中，外生变量指的是那些在我们的经济体系之外决定的因素， 而内生变量则是在经济体系之内被决定的因素。 例子 11.1 以下是我们碰到过多次的微观经济学习题。如果一个人的效用函数是 \(u\left(q_{1},q_{2}\right)\)，其中 \(q_{1}\) 和 \(q_{2}\) 是两种商品的数量。他的预算约束是 \(p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}\leq C\)，其中 \(p_{1}\) 和 \(p_{2}\) 分别是两种商品的价格。那么他会购买的最优数量 \(q_{1}^{*}\) 和 \(q_{2}^{*}\) 是多少？在这个问题中，效用函数 \(u\left(\cdot,\cdot\right)\)，物品价格 \(p_{1}\) 和 \(p_{2}\)，和预算 \(C\) 是外生变量。 而最优数量 \(q_{1}^{*}\) 和 \(q_{2}^{*}\) 是内生变量。 微观经济学中的概念内生性和外生性被借用到多方程计量模型。在单方程回归模型中， (11.1)#\[ y_{i}=x_{i}'\beta+e_{i} \]只是方程系统中的一部分。在单方程模型中，我们采取一种简单机械的分类方法：如果 \(\mathrm{cov}\left(x_{ik},e_{i}\right)\neq0\)， 那么我们就称 \(x_{ik}\) 是内生的 ，或者说是一个内生性变量； 反之 \(x_{ik}\) 就是一个外生性变量。 线性回归的实证分析常常遇到内生性问题的挑战。这些问题常见于经济研讨会和审稿报告。 为了定量经济研究中的实证分析策略能够站得住脚，了解潜在内生性的来源和全面地讨论如何解决内生性非常重要。 11.1. 识别#内生性通常意味着仅用 \(\left(y_{i},x_{i}\right)\) 难以识别我们感兴趣的参数。内生性的鉴别对于理解实证经济研究是至关重要的。如果模型中的参数与被观测变量的分布之间的映射是一一对应的，那我们就认为这个参数是被识别的。反之我们就称该模型的参数识别不足。 这是一个抽象的定义， 我们可以在线性回归的背景下来讨论它。 例子 11.2 线性投影模型隐含了矩方程： \[ \mathbb{E}\left[x_{i}x_{i}'\right]\beta=\mathbb{E}\left[x_{i}y_{i}\right]. \]如果 \(E\left[x_{i}x_{i}'\right]\) 满秩，那么 \(\beta=\left(\mathbb{E}\left[x_{i}x_{i}'\right]\right)^{-1}\mathbb{E}\left[x_{i}y_{i}\right]\) 是总体矩的一个函数，并且它是可识别的。与之相对，如果一些 \(x_{k}\) 是完全共线， 意味着 \(\mathbb{E}\left[x_{i}x_{i}'\right]\) 不满秩，即有多个 \(\beta\) 可以满足该 \(k\) 方程系统。 例子 11.3 假设 \(x_{i}\) 是一个随机的标量， \[\begin{split} \begin{pmatrix}x_{i}\\ e_{i} \end{pmatrix}\sim N\left(\begin{pmatrix}0\\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & \sigma_{xe}\\ \sigma_{xe} & 1 \end{pmatrix}\right) \end{split}\]服从联合正态分布，并且因变量 \(y_{i}\) 来源于 (11.1)。 联合正态分布的假设意味着条件均值 \[ \mathbb{E}\left[y_{i}|x_{i}\right]=\beta x_{i}+\mathbb{E}\left[e_{i}|x_{i}\right]=\left(\beta+\sigma_{xe}\right)x_{i} \]与线性投影模型一致，并且 \(\beta+\sigma_{xe}\) 是联合投影模型中的系数。 从可观察的随机变量 \(\left(y_{i},x_{i}\right)\) 中，我们只能得到 \(\beta+\sigma_{xe}\)。 由于无法观测到 \(e_{i}\)，我们从数据中不能得出 \(\sigma_{xe}\)，因此无法将 \(\beta\) 从 \(\left(\beta+\sigma_{xe}\right)\) 中分离出来。这正是我们在本课程前面提到过的遗漏变量偏差。我们无法通过可观测的数据 \(\left(y_{i}, x_{i}\right)\) 求出我们感兴趣的参数 \(\beta_0\)。 在特殊情况下，我们假设 \(\sigma_{xe}=0\)，此时内生性消失，\(\beta\) 可以被识别。 评注 11.1 到目前为止，线性投影模型是本课程中用来支持OLS的最通用模型。 OLS对于线性投影系数来说是相合的。根据线性投影模型的定义， \(\mathbb{E}\left[x_{i}e_{i}\right]=0\)，因此在线性投影模型中，没有内生性的生存空间， 。换句话说，如果我们在谈论内生性，我们一定不是在使用线性投影模型。 我们感兴趣的系数是结构参数的系数，而不是线性投影系数。 在计量经济学中，我们经常对具有经济学意义的模型感兴趣。实证研究中的普遍做法是假设 观察到的数据是从一个简约模型中生成的，然后下一步是去估计模型中的未知参数。 由于 很多时候有能够同时影响 \(y_i\) 和已有的 \(x_i\) 的变量未被包含在回归变量中，此时内生性成为一个重要问题。 为了解决内生性，我们寻求可以保证模型能识别的额外变量或数据结构。最常用的方法是： (i) 固定效应模型 (ii) 工具变量： 固定效应模型需要为每个个体 \(i\) 收集多个观察值，通常是跨时间的。此外， 内生性的来源是不变于时间的，并以如下形式另外进入模型： \[ y_{it}=x_{it}'\beta+u_{it}, \]其中 \(u_{it}=\alpha_{i}+\epsilon_{it}\) 是复合误差。如果数据沿时间维度搜集， 那么面板数据方法将会把 \(\left(y_{i},x_{i}\right)\) 扩展到 \(\left(y_{it},x_{it}\right)_{i=1}^{T}\)。 工具变量方法将 \(\left(y_{i},x_{i}\right)\) 扩展到 \(\left(y_{i},x_{i},z_{i}\right)\)， 其中额外的随机变量 \(z_{i}\) 被称为工具变量。我们假设 \(z_{i}\) 与误差 \(e_{i}\) 正交。因此，它为模型添加了额外的变量 \(z_{i}\)。 面板数据法或工具变量法都需要除 \(\left(y_{i},x_{i}\right)\) 以外的额外信息。 没有这些额外的数据，就没有办法解决识别不足的问题。正如线性投影模型可以用于存在合适矩的 \(\left(y_{i},x_{i}\right)\) 的任何联合分布一样，从纯统计学角度来看一个线性工具变量(Instrument Variable)模型仅机械地取决于 \(\left(y_{i},x_{i},z_{i}\right)\) 的选择，而无需参考任何经济学知识。 11.2. 工具变量#可靠的工具变量有两个条件：正交性和相关性。正交性需要正确设定模型。如果违反了相关性，即工具变量与内生变量不相关，则可观察数据可以由多个参数生成。那么按照计量经济学的定义，模型识别失败。 结构方程是经济学中的重要模型。考虑如下的线性结构模型： (11.2)#\[ y_{i}=x_{1i}'\beta_{1}+z_{1i}'\beta_{2}+\epsilon_{i}, \]其中 \(x_{1i}\) 是 \(k_{1}\)维的内生解释变量，\(z_{1i}\) 是 \(k_{2}\)维 包含了截距的外生解释变量。另外，还有 \(z_{2i}\)，不在模型内的 \(k_{3}\)维外生变量。 令 \(K=k_{1}+k_{2}\)，\(L=k_{2}+k_{3}\)。记 \(x_{i}=\left(x_{1i}',z_{1i}'\right)'\) 为 \(K\)维解释变量，\(z_{i}=\left(z_{1i}',z_{2i}'\right)\) 为 \(L\)维 外生向量。 我们称这个外生变量为 工具变量 (Instrumental Variable, IV)。令 \(\beta=\left(\beta_{1}',\beta_{2}'\right)'\) 为我们感兴趣的 \(K\)维的参数。我们可以将(11.2)重写为 (11.3)#\[ y_{i}=x_{i}'\beta+\epsilon_{i} \]我们就得到了一个工具向量 \(z_{i}\)。 在估计前，我们必须检查结构计量经济模型是否能识别。依据 (11.3)，识别需要真值 \(\beta_{0}\) 是参数空间上满足矩条件 (11.4)#\[ \mathbb{E}\left[z_{i}\left(y_{i}-x_{i}'\beta\right)\right]=0_{L}. \]的唯一值。秩条件是识别的充分必要条件。 假设 11.1 (秩条件) \(\mathrm{rank}\left(\mathbb{E}\left[z_{i}x_{i}'\right]\right)=K\). 注意 \(\mathbb{E}\left[x_{i}'z_{i}\right]\) 是一个 \(K\times L\) 的矩阵。 秩条件意味着阶数 \(L\geq K\)， 即工具变量的数量必须不少于内生变量。 定理 11.1 当且仅当秩条件成立，(11.4)中的参数才可以识别。 Proof. (充分性) 对于任何 \(\tilde{\beta}\neq\beta_{0}\) 的 \(\tilde{\beta}\)， \[\begin{split} \begin{aligned} \mathbb{E}\left[z_{i}\left(y_{i}-x_{i}'\tilde{\beta}\right)\right] & =\mathbb{E}\left[z_{i}\left(y_{i}-x_{i}'\beta_{0}\right)\right]+\mathbb{E}\left[z_{i}x_{i}'\right]\left(\beta_{0}-\tilde{\beta}\right)\\ & =0_{L}+\mathbb{E}\left[z_{i}x_{i}'\right]\left(\beta_{0}-\tilde{\beta}\right).\end{aligned} \end{split}\]由于 \(\mathrm{rank}\left(\mathbb{E}\left[z_{i}x_{i}'\right]\right)=K\)，我们可以得出 当且仅当 \(\beta_{0}-\tilde{\beta}=0_{K}\)时， \(\mathbb{E}\left[z_{i}x_{i}'\right]\left(\beta_{0}-\tilde{\beta}\right)=0_{L}\) ，而这违反了假设 \(\tilde{\beta}\neq\beta_{0}\)。因此 \(\beta_{0}\) 是满足(11.4)的唯一值。 (必要性证明留作练习。提示：通过逆否命题(Contrapositivity)——如果秩条件不成立，则模型无法被识别。 我们就可以通过举例轻松地证明这个定理。) 11.3. 内生性的来源#由于计量经济学家主要面对非实验数据，内生性问题就非常重要。下面我们来看几个例子。 例子 11.4 (动态面板模型) 我们知道一阶差分(first-difference, FD)估计量对于(静态)面板数据模型来说是相合的。但在动态面板模型 (11.5)#\[ y_{it}=\beta_{1}+\beta_{2}y_{i,t-1}+\beta_{3}x_{it}+\alpha_{i}+\epsilon_{it},\label{eq:dymPanel} \]中，一阶差分估计量会存在一些问题： 即使我们假设 (11.6)#\[ \mathbb{E}\left[\epsilon_{is}|\alpha_{i},x_{i1},\ldots,x_{iT},y_{i,t-1},y_{i,t-2},\ldots,y_{i0}\right]=0,\ \ \forall s\geq t \]对(11.5)中的 \(t\) 期和 \(t-1\) 期进行差分，我们有: (11.7)#\[ \left(y_{it}-y_{i,t-1}\right)=\beta_{2}\left(y_{it-1}-y_{i,t-2}\right)+\beta_{3}\left(x_{it}-x_{i,t-1}\right)+\left(\epsilon_{it}-\epsilon_{i,t-1}\right). \]根据(11.6)，\(\mathbb{E}\left[\left(x_{it}-x_{i,t-1}\right)\left(\epsilon_{it}-\epsilon_{i,t-1}\right)\right]=0\)，但 \[ \mathbb{E}\left[\left(y_{i,t-1}-y_{i,t-2}\right)\left(\epsilon_{it}-\epsilon_{i,t-1}\right)\right]=-\mathbb{E}\left[y_{i,t-1}\epsilon_{i,t-1}\right]=-\mathbb{E}\left[\epsilon_{i,t-1}^{2}\right]\neq0. \]因此在线性回归模型(11.7)中，系数 \(\beta_{2}\) 和 \(\beta_{3}\) 不能被识别。 评注 11.2 上述例子的工具变量很容易找到。注意到依据假设(11.6)，可以通过(11.5)得到 \[\begin{split} \begin{aligned} & \mathbb{E}\left[\epsilon_{i,t}-\epsilon_{i,t-1}|\alpha_{i},x_{i1},\ldots,x_{iT},\epsilon_{i,t-2},\epsilon_{i,t-3},\ldots,\epsilon_{i1},y_{i0}\right]\\ & = \mathbb{E}\left[\epsilon_{i,t}-\epsilon_{i,t-1}|\alpha_{i},x_{i1},\ldots,x_{iT},y_{i,t-2},y_{i,t-3},\ldots,y_{i0}\right]\\ & = 0 \end{aligned} \end{split}\]便能以 \[ \mathbb{E}\left[\left(\epsilon_{i,t}-\epsilon_{i,t-1}\right)f\left(\epsilon_{i,t-2},\epsilon_{i,t-3},\ldots,\epsilon_{i1}\right)\right]=0. \]的形式给出正交条件。换言之， \(y_{i,t-2},y_{i,t-3},\ldots,y_{i1}\) 的任何函数都正交于误差项 \(\left(\epsilon{}_{i,t-1}-\epsilon_{i,t-2}\right)\)。 这里模型外的工具变量是由模型本身自然生成的。 内生性另一个经典原因是测量误差。 例子 11.5 (经典测量误差) 当解释变量不可直接观察，而用有误差的测量值代替时，也会出现内生性问题。假设真实的线性模型是: (11.8)#\[ y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2}x_{i}^{*}+u_{i} \]其中 \(\mathbb{E}\left[u_{i}|x_{i}^{*}\right]=0\) 。我们无法观察 \(x_{i}^{*}\) ，但我们能观察到 \(x_{i}^{*}\) 的测量值 \(x_{i}\)， 它们之间的关系是 \[ x_{i}=x_{i}^{*}+v_{i} \]其中 \(\mathbb{E}\left[v_{i}|x_{i}^{*},u_{i}\right]=0\)。这种公式被称为经典测量误差 。 替换(11.8)中的不可观察的 \(x_{i}^{*}\) 得到 \[ y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2}\left(x_{i}-v_{i}\right)+u_{i}=\beta_{1}+\beta_{2}x_{i}+e_{i}\label{eq:measurement_error2} \]其中 \(e_{i}=u_{i}-\beta_{2}v_{i}\)。相关性: (11.9)#\[ \mathbb{E}\left[x_{i}e_{i}\right]=\mathbb{E}\left[\left(x_{i}^{*}+v_{i}\right)\left(u_{i}-\beta_{2}v_{i}\right)\right]=-\beta_{2}\mathbb{E}\left[v_{i}^{2}\right]\neq0. \]OLS(11.9)不能得到相合估计量。 评注 11.3 我们也可以用线性投影系数的表达式来理解经典测量误差问题。我们知道在 (11.8)中 \(\beta_{2}^{\mathrm{infeasible}}=\mathrm{cov}\left[x_{i}^{*},y_{i}\right]/\mathrm{var}\left[x_{i}^{*}\right].\) 与之相对，当我们用可观察的 \(x_{i}\) 回归 \(y_{i}\) 时，得到的线性投影系数为: \[ \beta_{2}^{\mathrm{feasible}}=\frac{\mathrm{cov}\left[x_{i},y_{i}\right]}{\mathrm{var}\left[x_{i}\right]}=\frac{\mathrm{cov}\left[x_{i}^{*}+v_{i},y_{i}\right]}{\mathrm{var}\left[x_{i}^{*}+v_{i}\right]}=\frac{\mathrm{cov}\left[x_{i}^{*},y_{i}\right]}{\mathrm{var}\left[x_{i}^{*}\right]+\mathrm{var}\left[v_{i}\right]}. \]显然 \(|\beta_{2}^{\mathrm{feasible}}|\leq|\beta_{2}^{\mathrm{infeasible}}|\)， 而且仅当 \(\mathrm{var}\left[v_{i}\right]=0\) (无测量误差)时取等号。这是由于测量误差引起的 衰减偏差(attenuation bias)。 接下来，我们介绍两个方程组的例子，一个来自微观经济学，另一个来自宏观经济学。 例子 11.6 (供给与需求) 设 \(p_{i}\) 和 \(q_{i}\) 为第 \(i\) 个市场上某个商品的对数价格和对数数量，并且它们在市场上是独立同分布的。 我们感兴趣的需求曲线为 (11.10)#\[ p_{i}=\alpha_{d}-\beta_{d}q_{i}+e_{di} \]其中 \(\beta_{d}\geq0\) ；供给曲线为 (11.11)#\[ p_{i}=\alpha_{s}+\beta_{s}q_{i}+e_{si \]其中 \(\beta_{s}\geq0\)。 我们使用一个简单的线性形式(linear specification)，使得系数 \(\beta_{d}\) 可以被解释为需求弹性，而 \(\beta_{s}\) 可以被解释为供给弹性。 本科微观经济学课程教授的是确定性形式，但在此我们添加了误差项来处理数据。 我们可以通过用 \(q_{i}\) 对 \(p_{i}\) 回归来得到弹性吗？ 这两个方程可以被写成矩阵形式： (11.12)#\[\begin{split} \begin{pmatrix}1 & \beta_{d}\\ 1 & -\beta_{s} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_{i}\\ q_{i} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_{d}\\ \alpha_{s} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e_{di}\\ e_{si} \end{pmatrix} \end{split}\]微观经济学中称 \(\left(p_{i},q_{i}\right)\) 为内生变量，称 \(\left(e_{di},e_{si}\right)\) 为外生变量。 (11.12) 是一个结构方程，因为它是由经济理论驱动的， 系数具有经济学含义。如果我们排除 \(\beta_{d}=\beta_{s}=0\)， 我们可以解出 (11.13)#\[\begin{split} \begin{aligned} \begin{pmatrix}p_{i}\\ q_{i} \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}1 & \beta_{d}\\ 1 & -\beta_{s} \end{pmatrix}^{-1}\left[\begin{pmatrix}\alpha_{d}\\ \alpha_{s} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e_{di}\\ e_{si} \end{pmatrix}\right]\nonumber \\ & =\frac{1}{\beta_{s}+\beta_{d}}\begin{pmatrix}\beta_{s} & \beta_{d}\\ 1 & -1 \end{pmatrix}\left[\begin{pmatrix}\alpha_{d}\\ \alpha_{s} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e_{di}\\ e_{si} \end{pmatrix}\right].\label{eq:reduced}\end{aligned} \end{split}\]这个方程(11.13) 被称为 简化形式 ——内生变量被表示为参数和外生变量的显函数。 特别地， \[ q_{i}=\left(\alpha_{d}+e_{di}-\alpha_{s}-e_{si}\right)/\left(\beta_{s}+\beta_{d}\right) \]因此对数价格与 \(e_{si}\) 和 \(e_{di}\) 都相关。由于在计量经济学中， \(q_{i}\) 在 (11.10)或(11.11)中是内生的，因此需求弹性和供给弹性都不能用 \(\left(p_{i},q_{i}\right)\) 识别。在(11.13)中， \[ p_{i}=\left(\beta_{s}\alpha_{d}+\beta_{d}\alpha_{s}+\beta_{s}e_{di}+\beta_{d}e_{si}\right)/\left(\beta_{s}+\beta_{d}\right) \]\(p_{i}\) 在 \(q_{i}\) 上的线性投影系数为 \[ \frac{\mathrm{cov}\left[p_{i},q_{i}\right]}{\mathrm{var}\left[q_{i}\right]}=\frac{\beta_{s}\sigma_{d}^{2}-\beta_{d}\sigma_{s}^{2}+\left(\beta_{d}-\beta_{s}\right)\sigma_{sd}}{\beta_{d}^{2}\sigma_{d}^{2}+\beta_{d}\sigma_{s}^{2}+2\beta_{d}\beta_{s}\sigma_{sd}} \]其中 \(\sigma_{d}^{2}=\mathrm{var}\left[e_{di}\right]\), \(\sigma_{s}^{2}=\mathrm{var}\left[e_{si}\right]\) 且 \(\sigma_{sd}=\mathrm{cov}\left[e_{di},e_{si}\right]\)。 这是供需模型的经典例子。结构参数无法被直接识别，因为观察到的 \(\left(p_{i},q_{i}\right)\) 是均衡(equilibrium)——需求曲线和供给曲线的交点的结果。 为了识别需求曲线，我们需要一个仅移动供给曲线的工具变量；反之亦然。 例子 11.7 (凯恩斯型方程) 这里借用了 Hayashi (2000, p.193) 的模型，但其最早可以追溯到[Haavelmo, 1943]。 计量经济学家想求出凯恩斯型方程中的 \(\beta_{2}\)，即边际消费倾向(marginal propensity of consumption)： (11.14)#\[ C_{i}=\beta_{1}+\beta_{2}Y_{i}+u_{i} \]其中 \(C_{i}\) 是家庭消费，\(Y_{i}\) 是GNP，而 \(u_{i}\) 是不可观察的误差。 但是，\(Y_{i}\) 和 \(C_{i}\) 可以通过一个没有误差的会计等式联系起来 \[ Y_{i}=C_{i}+I_{i} \]其中 \(I_{i}\) 是投资。 因为投资是预先确定的，我们可以假设 \(\mathbb{E}\left[u_{i}|I_{i}\right]=0\)。 在这个例子中，\(\left(Y_{i}C_{i}\right)\) 是内生的，而\(\left(I_{i},u_{i}\right)\) 是外生的。将两个方程以结构形式放在一起： \[\begin{split} \begin{pmatrix}1 & -\beta_{2}\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}C_{i}\\ Y_{i} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\beta_{1}\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}u_{i}\\ I_{i} \end{pmatrix}. \end{split}\]相对应的简化形式是 \[\begin{split} \begin{aligned} \begin{pmatrix}C_{i}\\ Y_{i} \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}1 & -\beta_{2}\\ -1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\left[\begin{pmatrix}\beta_{1}\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}u_{i}\\ I_{i} \end{pmatrix}\right]\\ & =\frac{1}{1-\beta_{2}}\begin{pmatrix}1 & \beta_{2}\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\left[\begin{pmatrix}\beta_{1}\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}u_{i}\\ I_{i} \end{pmatrix}\right]\\ & =\frac{1}{1-\beta_{2}}\begin{pmatrix}\beta_{1}+u_{i}+\beta_{2}I_{i}\\ \beta_{1}+u_{i}+I_{i} \end{pmatrix}.\end{aligned} \end{split}\]OLS估计(11.14)将不相合，因为在简化形式中， \(Y_{i}=\frac{1}{1-\beta_{2}}\left(\beta_{1}+u_{i}+I_{i}\right)\) 意味着 \(\mathbb{E}\left[Y_{i}u_{i}\right]=\mathbb{E}\left[u_{i}^{2}\right]/\left(1-\beta_{2}\right)\neq0\)。 11.4. 总结#尽管我们经常要处理的是有潜在内生变量的单方程模型，但背后的结构模型可能涉及多个方程。 联立方程模型是一种经典的计量经济学建模方法，而且至今在结构经济研究中它仍然有着广泛应用。 当我们的经济模型是“结构性”时，我们要牢记因果机制。此时我们不再像在第2章 那样通过控制组和对照组来确定因果效应，而是从经济结构的视角来看待因果关系。 历史趣闻 工具变量最初在[Wright, 1928]中出现，被用于识别内生变量的系数。这被认为是与Philip的儿子Sewall Wright合作产生的想法。 供需分析需要感谢[Working, 1927]的贡献，测量误差研究则来源于[Fricsh, 1934]。 拓展阅读 因果关系是计量经济学的圣杯。[Pearl and Mackenzie, 2018] 是一本颇具哲理的畅销书籍，阅读体验良好。 [Chen et al., 2011] 综述了现代的非线性误差测量模型。 |
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