复变函数：傅里叶变换

傅里叶级数针对周期函数，为了可以处理非周期函数，需要傅里叶变换。关于傅里叶级数的内容参见傅里叶级数

从代数上看，傅里叶级数就是通过三角函数和常数项来叠加逼近周期为T的函数 f ( x ) f(x) f(x)： 这一过过程，实际上是把 f ( x ) f(x) f(x)当作了如下基的向量： 那么上面的式子就可以解读为： 以一个例子来说明，比如一个 T = 2 π T=2\pi T=2π的方波 f ( x ) f(x) f(x)，可以粗略的写作 f ( x ) ≈ 1 + 4 π s i n ( x ) f(x)\approx1+{4\over\pi}sin(x) f(x)≈1+π4​sin(x) 我们可以认为上面函数的基为 { 1 , s i n ( x ) } \{1,sin(x)\} {1,sin(x)}，则 f ( x ) f(x) f(x)相当于向量 ( 1 , 4 π ) (1,{4\over\pi}) (1,π4​)，画到图上如下（注意横纵坐标不是 x , y x,y x,y，而是 1 , s i n ( x ) ） 1,sin(x)） 1,sin(x)）：

在上面的示例函数中增加几个三角函数： 此时从几何上来看，图像更为接近： 这时的基为： 对应的向量为： 六维的向量我们是没有办法通过坐标图来表示的，因此数学家使用了一个频域图来表示这个向量： 上图中的0，1，2，3，4，5分别代表了不同频率的正弦波函数，也就是之前的基：

0 H z    ⟺    s i n ( 0 x ) 3 H z    ⟺    s i n ( 3 x ) ⋯ 0Hz\iff sin(0x)\quad3Hz\iff sin(3x)\cdots 0Hz⟺sin(0x)3Hz⟺sin(3x)⋯

高度则代表在这个频率上的振幅，也就是这个基上的坐标分量。

这里举的例子只有正弦函数，余弦函数其实也需要这样一个频谱图，也就是需要两个频谱图，此外还有一种结合正弦和余弦的方式，这个放在后面。

原来的曲线图就称为时域图，往往把时域图和频域图画在一起，这样才能较为完整的反映傅里叶级数。 不管是时域还是频域，其实反映的都是同一个直线，只不过一个用了函数的观点，而另一个用了向量的观点。

当习惯了频域后，再看频域图似乎就看到了傅里叶级数的展开：

以上关于傅里叶级数的说明都是基于周期函数，假如有如下一个非周期函数，那么傅里叶级数该怎么处理？ 我们可以变换一下思路，如果刚才方波的周期： T = 2 π → T = ∞ T=2\pi\to T=\infin T=2π→T=∞ 那么可以得到一个如下的函数：

在这样的思路下，就可以使用三角级数来逼近这个函数

观察下频域，对于周期为T的函数 f ( x ) f(x) f(x),其基为：

{ 1 , c o s ( 2 π n T x ) , s i n ( 2 π n T x ) } \{1,cos(\frac{2\pi n}{T}x),sin(\frac{2\pi n}{T}x)\} {1,cos(T2πn​x),sin(T2πn​x)}

刚才举例的方波 T = 2 π T=2\pi T=2π，对应的基就为（没有余弦波）： 对应的频率就是： 按照刚才的思路，如果T不断变大，比如让 T = 4 π T=4\pi T=4π，对应的基就为（没有余弦波）： 对应的频率就为： 和刚才相比，频率更加密集 之前方波的频域图，画了前五十个频率，可以看到随着 T T T不断变大，这50个频率越来越集中： 可以想象，如果真的： T = 2 π → T = ∞ T=2\pi\to T=\infty T=2π→T=∞，这些频率就会变得稠密，直至连续，变为一条频域曲线： 傅里叶变换就是，让 T = ∞ T=\infty T=∞，求出上面这根频域曲线。

傅里叶级数是： 这里有正弦波和余弦波，画频域图不方便，通过欧拉公式，可以转变为复数形式： 其中： 复数形式也是向量，可以理解为： 只不过这里 c n c_n cn​是复数，不好画频域图，当周期推向无穷的时候可以得到：

f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n ⋅ e i 2 π n x T ( T = ∞ ) ⟹ f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ F ( w ) e i w x d w f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_n\cdot e^{i\frac{2\pi nx}{T}}(T=\infty)\Longrightarrow f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{iwx}dw f(x)=n=−∞∑∞​cn​⋅eiT2πnx​(T=∞)⟹f(x)=∫−∞∞​F(w)eiwxdw

上面进行了一些简化，用 w w w代表频率。(?)

其中 F ( w ) F(w) F(w)得到的过程如下所示：

c n = 1 T ∫ x 0 x 0 + T f ( x ) ⋅ e − i 2 π n x T d x ( T = ∞ )   ⟹ F ( w ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i w x d x c_n=\frac{1}{T}\int_{x_0}^{x_0+T}f(x)\cdot e^{-i\frac{2\pi nx}{T}dx}(T=\infty)\ \Longrightarrow F(w)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iwx}dx cn​=T1​∫x0​x0​+T​f(x)⋅e−iT2πnx​dx(T=∞) ⟹F(w)=2π1​∫−∞∞​f(x)e−iwxdx

F ( w ) F(w) F(w)就是傅里叶变换，得到的就是频域曲线。

下面两者称为傅里叶变换对，可以相互转换：

f ( x )    ⟺    F ( w ) f(x)\iff F(w) f(x)⟺F(w)

正如之前所说的，这是看待同一个数学对象的两种形式，一个是函数，一个是向量。

https://www.matongxue.com/madocs/712.html