解析几何简史（摘自平面解析几何辞典，附录部分）

前言：本文为摘文，摘自上海辞书出版社的平面解析几何辞典（1983年）解析几何简史部分。原作者袁小明。向各位大家表示感谢！（希望这篇文章能帮到您。若文中出现明显错误，还请指明，up会更改。另外，部分人物名字或与今日通常译法不同。谢谢各位）

正文：解析几何简史（附录部分摘录）

解析几何产生于十七世纪的欧洲，这不是偶然的。文艺复兴后的欧洲进入了一个生产力迅速发展、思想普遍活跃的时代。机械的广泛使用，促使人们对机械性能进行研究，这就需要运动学、动力学知识和相应的数学理论；建筑的兴盛，河道与堤坝的修建，又提出了有关固体力学和流体力学的问题，这些问题的合理解决需要正确的数学计算；航海事业的发展，向天文学，实际也是向数学提出了如何精确测定经纬度，如何计算各种不同形状船体的面积、体积与确定重心的方法；望远镜和显微镜的发明，提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题，在数学上就需要研究求曲线的切线问题。所有这些都难以用初等几何、初等代数等常量数学来解决。于是，人们就相继转而研究变量数学。作为几何与代数相结合的产物——解析几何，也就在这种背景下问世。

几何学形成得很早，公元前三世纪就产生了具有完整演绎体系的欧几里得（Euclid，约公元前330——前275）的《几何原本》十三卷。半个世纪后，古希腊另一位数学家阿波罗尼斯（Apollonius，约公元前260——前170）著有《圆锥曲线论》八卷，它几乎包括了圆锥曲线的全部性质。但是，与古希腊所有的几何学一样，阿波罗尼斯的几何是一种静态的几何。它既未把曲线看作是一种动点的轨迹，更没有给它的一般表示方法。这种局限性在十六世纪前并没有引起注意，因为实践没有向几何学提出可能引起麻烦的课题。十六世纪以后的情况就不同了。哥白尼（Nicolaus Copernicus,1473——1543）提出日心说，伽利略（Galileo Galilei,1564——1642）由研究物体物体运动得出自由落体定律和抛物运动规律，都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其它几何曲线的课题。地球绕太阳运转的轨道是椭圆，物体斜抛运动的轨迹是抛物线，这些都远不是靠建立在用平面截圆锥而得到的椭圆与抛物线的概念所能把握的。传统的几何学缺乏解决这些问题的有效办法，要能反映出这类运动的轨迹及其性质，就必须从观点到方法都来一个变革，需要一种建立在运动观点上的几何学。

十六世纪代数学的发展也为产生解析几何创造了条件。我们知道，解析几何的基本方法是在引进坐标系的基础上，把由曲线所决定的两个坐标之间的关系用方程表示出来，通过对方程的研究来掌握曲线的性质。如果代数尚未符号化，那么即使煞费苦心地引进坐标，也不可能建立一般的曲线方程，更不可能在方法上引起划时代的变革。1591年法国数学家韦达（François Viète,1540——1603）首先在代数中有意识地系统地使用字母，他不仅用字母表示未知数（这在他之前早有人做了），而且用以表示已知数，包括方程中的系数和常数。而象今天那样用a、b、c…表示已知数，用x、y、z…表示未知数则是后来笛卡儿(René Descartes,1596——1650)创始的。这样，代数就从一个过去以分别解决各种特殊问题的、侧重于计算的数学分支，转变成一门研究一般类型问题和方程的学科，这就为由几何曲线建立代数方程并由代数方程来研究几何曲线铺平了道路。

但是有了坐标概念和可用于几何的代数，并不等于就能产生解析几何。事实上，用坐标系来确定点的位置，早在纪元前就有人使用了。公元前四世纪，我国战国时代的石申就曾利用坐标方法记录了一百多颗恒星的方位，著成世界上最早的星标——《石氏星表》，阿波罗尼斯在研究圆锥曲线的时候也曾引用两条正交的直线作为一种坐标轴。1486年，法国数学家奥雷斯姆(Nicole Oresme,约1323——1382)在他的著作中已经象后来的笛卡儿那样使用了纵轴和横轴来确定点的位置和变化状态了，虽然这些思想启发了后来的学者，但还不能算作解析几何。

同样，用代数形式表示几何命题的做法也出现得很早。我国数学家刘徽（约公元三世纪）在他的《海岛算经》一书中，把全部九个几何问题都用代数形式来表示；希腊的帕普斯（Pappus 三世纪末）也曾将代数系统地应用于几何；1593年，韦达将古希腊著作中出现的以几何形式表示的恒等关系用代数形式表示出来，并且通过建立方程来帮助作图。但是，即使象韦达那样的工作，也仍然不能算是创立了解析几何，事实上他只是在几何中用到了代数，而没有真正建立起代数与几何的本质联系。

真正将代数与几何沟通起来并创立解析几何的是十七世纪四十年代的两位法国数学家——费尔马(Pierre de Fermat,1601——1665)和笛卡儿。

1630年，费尔马写成《平面与立体轨迹引论》（发表于1679年），在这篇文章中费尔马把希腊数学中使用立体图像所发现的曲线的特征，通过引进坐标，以统一的方式译成了代数语言，使得各种不同的曲线都能用代数方程表示和研究。费尔马还具体研究了直线、圆和其他圆锥曲线的方程，注意到了坐标系可以平移和旋转，并以此来化简方程。虽然如此，费尔马的解析几何还是不成熟的，他还没有完全克服阿波罗尼斯静态地研究几何曲线的影响，因此从解析几何的角度来说，它是不纯粹的。

通常人们都把笛卡儿作为解析几何的创立者。笛卡儿的解析几何是以如下两个观念为基础的：一是坐标观念，二是把有互相关联的两个未知数的任意代数方程方程看作平面上的一条曲线的观念。对坐标，笛卡儿与前人所不同的是他不仅用坐标表示点的位置，而且将坐标通过“点动成线”的观点具体地用到建立曲线的方程上。对方程，笛卡儿不仅它看成是未知数与已知数的关系式，而且更多地把它看作为两个变量之间鹅关系，这正是对于处理几何曲线十分有效的新方法的思想基础，笛卡儿还把不同次数的几条曲线同时表示在一个坐标系中，这就使得解析几何的应用范围极大地扩展了。这是包括费尔马在内的任何前人都未曾做到的，它也是笛卡儿贡献的独特之处。笛卡儿把他的这一思想发表在1637年出版的他的解析几何著作——《几何》中。这是他的一本题为《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》著作的附录。

笛卡儿的另一个功绩在于他解开了捆绑在代数学上的一条绳索——齐次原则。所谓齐次原则是方程各项的次数必须一致，这是十六世纪以前西方数学家所拘泥的一个原则。齐次原则认为，由于体积、面积和长度不能互加，因此表示几何量之间关系的方程的各项也只能是齐次的。按这一规定，象方程ax^2+bx+c＝0便无意义，因为ax^2是一个体积量，它怎么能与bx这个面积量以及c这个长度量相加呢？笛卡儿不理会这些，他通过引入单位数的概念，使所有的几何量都通过单位数而变成统一的数的表示。于是，图形中各种量之间的关系都可以化成数与数之间的关系，从而形成代数计算与几何作图之间的平行关系，开辟了把代数与几何巧妙地统一起来的道路。

笛卡儿对曲线建立方程主要有三个步骤：给定符号（字母）、引出式子、建立方程。即给图形中的各种线段不管是已知的还是未知的以相应的字母，再根据问题所给出的线段间的关系来列出式子，然后依据存在着的相等关系来建立方程。笛卡儿指出，如果照这样建立起来的方程的个数等于未知数个数，那么解方程的结果是所要求的未知线段，如果方程的个数少于未知数的个数，那么方程是不定方程，它代表了一条由相应的点所组成的曲线。这些点是由逐次给一个未知数以不同的值，相应地得到另一个未知数的值而确定的。于是，一个在代数中看来意义不大的不定方程，由于引进了对一个未知数逐次给以确定值的变化的思想，就成了表示变量与函数关系的式子，并成为曲线的代数形式。

在这里，笛卡儿把以往对立着的两个研究对象“数”与“形”统一起来了，并在数学中引入了变量的概念，从而完成了数学史上一项划时代的变革。这一工作开拓了一个变量数学的崭新领域，特别是加速了微积分的成熟。恩格斯把解析称为最重要的数学方法之一。他高度评价了笛卡儿的革新思想，说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而他们也就立刻产生，……”（《自然辩证法》人民出版社1971年版第236页）。

笛卡尔创立了解析几何学，他的贡献是伟大的，他的思想方法是划时代的。但是解析几何作为一门学科毕竟当时还很不完善，例如，笛卡儿当时尚未自觉地引进第二条坐标轴——y周。一百多年后瑞士数学家克拉默（Gabriel Cramer,1704——1752）在他的《代数曲线分析引论》中才正式引入y轴。正是由于许多数学家在各个方面作了大量的修正和补充，才使它日臻完善。

1655年英国数学家沃利斯（John Wallis,1616——1703）首先引进负的纵、横坐标，这就使得解析几何可以在整个平面内研究曲线，从而摆脱了原来的局限。沃利斯还导出了各圆锥曲线的方程，并且从这类方程都是二次的情况，把圆锥曲线定义为：含两个变量的二次方程的曲线。沃利斯的这个定义第一次摆脱了把圆锥曲线仅仅看成是圆锥与平面的截面的观念，从而确定起圆锥曲线作为一种普通的平面曲线的地位。1717年英国数学家斯特林（James Stirling,1692——1770）把x和y的一般二次化为若干标准型。

1691年瑞士数学家雅各•伯努利（Jacob Bernoulli,1654——1705）引入了极坐标（1671年牛顿也曾提出过极坐标，但他的文章发表在1736年），这极大地便利了某些曲线方程的建立，也使人们对曲线的认识更进一步。这时期先后发现了双纽线、卵形线、对数螺线、悬链线、旋轮线等各种特殊曲线。1779年德国数学家赫尔曼(Jacob Hermann,1707——1783)则第一个在坐标中明确地使用了三角函数，给出了现代形式下的极坐标系。他还开创了曲线的参数表示。

解析几何的一个重要发展是由平面推广到空间。这一工作最初出现在十七世纪，笛卡儿曾认识到：一个含有三个未知数——这三个数定出轨迹上的一个点C——的方程，所代表的点C的轨迹是一个平面、一个球面或者是一个更复杂的曲面，这说明笛卡儿已经体会到他的方法可以推广到三维空间中的曲线和曲面上，但是他没有进一步去考虑这种推广。1679年法国数学家拉伊尔(La Hire,1640——1718)对三维坐标几何作了较为特殊的讨论，他先用三个坐标表示空间中的点P，然后写出了曲线的方程。1715年雅各•伯努利的弟弟约翰•伯努利(Johann Beenoulli,1667——1748)首先引入我们现在通用的三个坐标平面，在这基础上，通过法国数学家帕郎(Autoine Parent,1666——1716)、克莱罗(Alexis Claude Clairaut,1713——1765)以及约翰伯努利、赫尔曼等人的工作，弄清了曲面能用三个坐标变量的一个方程表示的思想；1731年克莱罗又指出描述一条空间曲线需要两个曲面方程，他还揭示了这样一个事实：空间曲线的投影方程 即垂直于投影平面的柱面的方程，可以通过决定这条曲线的两个曲面方程的某种组合给出；赫尔曼则在1732年给出了绕z轴旋转的曲面方程的一般形式：x^2+y^2＝f（z）。

1748年欧拉的《分析引论》一书中出现了解析几何发展史上的重要一步，即给出了现代形式下的解析几何的系统的叙述，它可以视为现代意义下的第一本解析几何教程。在这本书中，欧拉还给出了空间坐标的变换公式和六种曲面（锥面、柱面、椭圆面、单叶双曲面和双叶双曲面、双曲抛物面以及抛物柱面）的标准形式。

继欧拉以后，法国数学家蒙日（Gaspard Monge,1746——1818）对三维解析几何作了大量的研究。他与他的学生阿歇特(Jean-Nicolas-Pierre Hachette,1769——1834)证明了二次曲面的每一个平面截口是一条二次曲线，而平行截面截得的是相似的二次曲线。他们还证明了单叶双曲面和双曲抛物面都能用一根直线按两种不同方式运动而得到，这类曲面称为直纹曲面。

1788年，法国数学家拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange,1736——1813)在他的名著《解析力学》中以类似后来的向量形式表示力、速度、加速度等具有方向的量。虽然拉格朗日没有对向量概念作更深入的研究，但是这种概念一经提出就引起人们很大的注意。十八世纪八十年代在英国数学家吉布斯（Josiah Willard Gibbs,1839——1903）和亥维赛德（Olivier Heaviside,1850——1925）的努力之下，一门名为“向量代数”的学科诞生了。正如吉布斯所料，向量代数的出现立即对解析几何产生深刻的影响，几何又一次从代数中吸收了新的活力。现在，向量代数已经成为解析几何学的重要组成部分。

纵观解析几何形成和发展的历史，可以这样说：解析几何的创立者是费尔马和笛卡儿，但是使解析几何演变成一个独立的而且充满活力的数学分支那要归功于十七、十八世纪的众多数学家，其中最主要的是欧拉、拉格朗日和蒙日。

十九世纪后，解析几何已经发展得相当完备，但这并不意味着解析几何的活力已经结束。作为二维和三维解析几何所研究问题的代数推广，人们开始讨论四维解析几何和n维甚至无穷维的解析几何，即考虑有四个或n个甚至无穷个未知数，而在结构上与二维和三维相类似的情况。

正当解析几何蓬勃发展的时候，以光滑曲线、曲面为其研究对象，且以数学分析和微分方程为研究工具的一门几何学的新分科——微分几何诞生了。虽然微分几何的研究手段不同于解析几何，但是微分几何内容在很大程度上吸收了解析几何的成果，而这两门学科的发展又常常交织在一起。

二十世纪以来迅速发展的两个新的宽广的数学分支——泛函分析和代数几何，也都可以看作是古典解析几何的直接延续。因为前者是综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无穷维向量空间及其上的函数，它的重要分支——希尔伯特空间及其中的自共轭算子谱分析理论可以看作是无限维向量空间的解析几何学；后者是研究以空间坐标的一个或多个代数方程所确定的点的轨迹（称为代数流形），研究三次以上的代数曲线和代数曲面的几何性质；而二维或三维解析几何中的对象：直线、圆锥曲线、二次曲面都是它的特例。

在生产力发展的推动下，可以断言，几何学和整个科学文化将更加繁荣和发展。如上所述，数学的许多分支在吸收了解析几何的思想方法，并在其它学科发展的影响下得到了蓬勃发展。解析几何作为一门基础学科在数学中占有重要的地位，在数学发展史上发展它的积极作用。（正文部分结束）‍‍‍‍

‍‍‍‍‍‍up自言：作为一个喜欢数学的人，我喜欢它的整体结构，我喜欢它的思想表达，同时，我也喜欢数学的历史。数学的历史，在课文里的记载还是较少，且不连续的（这句话不怎么严谨）。要想了解一个东西，知其然也要知其所以然，这样对于自己的思维有好处，也能知道历史上的大家怎么发展数学。这样我们能有一个更好的想法，来创造自己的数学。我个人认为，学习数学，不仅是要学它的公式表达，还有它的思想脉络。在此，还是表示对各位大家的感谢。我也期望这些辞典的内容能在B站绽放光彩。（结束）‍‍