机器人连杆坐标系原点的角加速度和线加速度的推导

2024-07-10 06:12| 来源: 网络整理| 查看: 265

Craig书中的动力学章节里给出了机器人连杆坐标系原点的角加速度和线加速度递推表达式，但书中只说明了根据哪两个表达式得到了该结论，实质上还是需要一定的推导过程的，本文在此给出角加速度和线加速度的推导步骤，以便理解透彻。

角加速度传递关系

p137页提到，由（6-15）可以得到连杆之间角加速度变换的方程，先看（6-15）的描述：

假设坐标系 $\{B\}$ 以角速度 ${}^A\Omega_B$ 相对于坐标系 $\{A\}$ 转动，坐标系 $\{C\}$ 以角速度 ${}^B\Omega_C$ 相对于坐标系 $\{B\}$ 转动，可得到坐标系 $\{C\}$ 相对于坐标系 $\{A\}$ 的角加速度：

${}^A\dot\Omega_C={}^A\dot\Omega_B+{_B^A}R{}^B\dot\Omega_C+{}^A\Omega_B×{_B^A}R{}^B\Omega_C$

在上式中令 $\{A\}$ = $\{0\}$ ，即基座标系， $\{B\}$ = $\{i\}$ ，即连杆 $i$ ， $\{C\}$ = $\{i+1\}$ ，即即连杆 $i+1$ ，代入后得到： $\dot\omega_{i+1}=\dot\omega_{i}+{_i^0}R{_{i+1}^i}R\ddot\theta_{i+1}\hat{{^{i+1}}Z_{i+1}}+\omega_{i}×{_i^0}R{_{i+1}^i}R\dot\theta_{i+1}\hat{{^{i+1}}Z_{i+1}}$ 化简后得到： $\dot\omega_{i+1}=\dot\omega_{i}+{_{i+1}^0}R\ddot\theta_{i+1}\hat{{^{i+1}}Z_{i+1}}+\omega_{i}×{_{i+1}^0}R\dot\theta_{i+1}\hat{{^{i+1}}Z_{i+1}}$ 推导过程中用到了关系式： $^B\dot\Omega_C={_{i+1}^i}R\ddot\theta_{i+1}\hat{{^{i+1}}Z_{i+1}}$ $^B\Omega_C={_{i+1}^i}R\dot\theta_{i+1}\hat{{^{i+1}}Z_{i+1}}$

从基座标系变换到连杆坐标系 $\{{i+1}\}$ 中描述，两边左乘 ${_0^{i+1}}R$ ，得到：

${^{i+1}}\dot\omega_{i+1}={_i^{i+1}}R{^{i}}\dot\omega_{i}+{_i^{i+1}}R{^{i}}\omega_{i}×\dot\theta_{i+1}\hat{{^{i+1}}Z_{i+1}}+\ddot\theta_{i+1}\hat{{^{i+1}}Z_{i+1}}$ 该式即为书中结论(6-32).

线加速度传递关系

应用（6-12）可以得到每个连杆坐标系原点的线加速度，（6-12）的表达式如下： ${^A}\dot{V}_Q={^A}\dot{V}_{BORG}+{^A}\Omega_B×({^A}\Omega_B×{_B^A}R{}{^B}Q)+{}^A\dot\Omega_B×{_B^A}R{^B}{Q}$

在上式中令 $\{A\}$ = $\{0\}$ ， $\{B\}$ = $\{i\}$ ， $Q$ 为 $\{i+1\}$ 原点，代入后得到：

$\dot{v}_{i+1}=\dot{v}_{i}+\omega_i×(\omega_i×{_i^0}R{}{^i}{P}_{i+1})+\dot\omega_i×{_i^0}R{^i}{P}_{i+1}$ 上式中各个向量是在 $\{0\}$ 系中表达的，两边左乘 ${_0^{i+1}}R$ ，转换到 $\{i+1\}$ 系：

${^{i+1}}\dot{v}_{i+1}={_i^{i+1}}R{^i}\dot{v}_{i}+{_i^{i+1}}R{^i}\omega_i×({_i^{i+1}}R{^i}\omega_i×{_i^{i+1}}R{}{^i}{P}_{i+1})+{_i^{i+1}}R{^i}\dot\omega_i×{_i^{i+1}}R{^i}{P}_{i+1}$ 等式右边提取出 ${_i^{i+1}}R$ ，可得：

${^{i+1}}\dot{v}_{i+1}={_i^{i+1}}R({^i}\dot\omega_i×{^i}{P}_{i+1}+{^i}\omega_i×({^i}\omega_i×{}{^i}{P}_{i+1})+{^i}\dot{v}_{i})$ 该式即为书中结论(6-34) .

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