期望值、均值（一阶矩）、方差（二阶中心距）、标准差

随机变量的期望值给出了该变量分布中心的度量。期望值本质上是变量的长期平均值。期望值也被称为期望，均值或一阶矩。期望值可以计算为单个离散变量、单个连续变量、多个离散变量和多个连续变量。

期望值的一个例子： 美国的轮盘中常用的轮盘上有38个数字，每一个数字被选中的概率都是相等的。赌注一般押在其中某一个数字上，如果轮盘的输出值和这个数字相等，那么下赌者可以获得相当于赌注35倍的奖金（原注不包含在内），若输出值和下压数字不同，则赌注就输掉了。考虑到38种所有的可能结果，然后这里我们的设定的期望目标是“赢钱”，则因此，讨论赢或输两种预想状态的话，以1美元赌注押一个数字上，则获利的期望值为：赢的“概率38分之1，能获得35元”，加上“输1元的情况37种”，结果约等于-0.0526美元。也就是说，平均起来每赌1美元就会输掉0.0526美元，即美式轮盘以1美元作赌注的期望值为负0.0526美元【来源：期望值】

在统计中算术平均数常用于表示统计对象的一般水平，它是描述数据集中程度的一个统计量。我们既可以用它来反映一组数据的一般情况，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别，用平均数表示一组数据的情况，有直观、简明的特点，所以在日常生活中经常用到，如平均的速度、平均的身高、平均的产量、平均的成绩、平均的气温等。【来源：平均数】

根据大数定律，当重复次数趋于无穷大时，变量的平均值收敛于期望值。

泰勒级数提供了关于一般函数的信息 泰勒级数如何近似或逼近函数，详见本人博客：3Blue1Brown系列：泰勒级数（Taylor Series）

矩能够让我们更好地理解概率密度函数（PDF）的形状和性质 类似于泰勒级数，一阶矩对应泰勒级数中的第一项如 f ( 0 ) f(0) f(0)、二阶中心距对应泰勒级数中的第二项如 f ′ ( 0 ) f'(0) f′(0) ⋯ \cdots ⋯，通过矩来近似或逼近概率密度函数（PDF）

中心矩与泰勒级数相似，正如得到的泰勒级数越多，对函数的逼近就越好

均值就是期望值或平均值 函数 g ( X ) g(X) g(X) 的期望值

例子： X X X的期望值（一阶矩）、方差（二阶中心矩）

例子：

例子：

方差用来衡量随机变量的值是如何分布在均值附近的，随机变量 X X X接近 μ X \mu_X μX​的可能性越高，方差就越小

标准差可以预测出结果与均值之间差距的波动程度，标准差越小，结果就越容易分布在均值附近

随机变量没有单位，但为了方便解释，我们将随机变量指定单位 “米”，那么方差的单位为“平方米”，均值的单位“米”，要描述结果与均值之间的波动程度，应该采用和均值一样的“单位”，所以方差是个错误的研究对象，最终我们采用方差的平方根 − − -- −−标准差（单位“米”）