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如图1,小红家阳台上放置了一个晒衣架.如图2是晒衣架的侧面示意图,立杆AB.CD相交于点O,B.D两点立于地面,经测量: AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条直线,且EF=32cm. (1)求证:AC∥BD; (2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(精确到0.1°); (3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由. (参考数据:sin61.9°≈0.882,cos61.9°≈0.471, tan61.9°≈0.553;可使用科学记算器) 答案 考点:相似三角形的应用;解直角三角形的应用。 分析:(1)根据等角对等边得出∠OAC=∠OCA= (2)首先作OM⊥EF于点M,则EM=16cm,利用cos∠OEF= (3)首先证明Rt△OEM∽Rt△ABH,进而得出AH的长即可. 解答:(1)证明:证法一:∵AB.CD相交于点O, ∴∠AOC=∠BOD…1分 ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA= 同理可证:∠OBD=∠ODB= ∴∠OAC=∠OBD,…2分 ∴AC∥BD,…3分 证法二:AB=CD=136cm,OA=OC=51cm, ∴OB=OD=85cm, ∴ 又∵∠AOC=∠BOD ∴△AOC∽△BOD, ∴∠OAC=∠OBD;…2分 ∴AC∥ (2)解:在△OEF中,OE=OF=34cm,EF=32cm; 作OM⊥EF于点M,则EM=16cm;…4分 ∴cos∠OEF= 用科学记算器求得∠OEF=61.9°…6分; (3)解法一:小红的连衣裙会拖落到地面;… 在Rt△OEM中, 过点A作AH⊥BD于点H, 同(1)可证:EF∥BD, ∴∠ABH=∠OEM,则Rt△OEM∽Rt△ABH, ∴ 所以:小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm>晒衣架的高度AH=120cm. 解法二:小红的连衣裙会拖落到地面;…7分 同(1)可证:EF∥BD,∴∠ABD=∠OEF=61.9°;…8分 过点A作AH⊥BD于点H,在Rt△ABH中
AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm…9分 所以:小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm>晒衣架的高度AH=120cm. 点评:此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形,根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数解题是解决问题的关键. |
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