【矩阵论笔记】矩阵特征矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子

矩阵的特征值矩阵是由矩阵特征值 λ \lambda λ构成的矩阵。包含三个运算： 1、互换两行（列） 2、某行（列）乘非零常数 3、某行（列）乘多项式后加到另一行 n阶 λ \lambda λ矩阵可逆的充要条件是： A ( λ ) = 非 零 常 数 A(\lambda)=非零常数 A(λ)=非零常数 因为初等变换不改变矩阵的行列式因子和不变因子，所以可以通过初等变换来求smith标准型。

由此引出smith标准型的概念： 1、最高次幂系数为1 2、 d ( λ i ) d(\lambda_i) d(λi​)能够整除 d ( λ i + 1 ) d(\lambda_{i+1}) d(λi+1​) 3、 λ \lambda λ矩阵的smith标准型是唯一的

用上面的三个运算可以把一个 λ \lambda λ矩阵化为smith标准型，举例： 技巧：

这样求smith标准型比较麻烦，容易出错。接下来就引出了求smith标准型的第二种方法，为了学会这个方法，先要了解一些概念。

行列式因子 k阶行列式因子是 A ( λ ) A(\lambda) A(λ)中全部非零k阶子式的最高次幂系数为1的最大公因式。 上式中，分别求得了各阶的非0子式，然后在每一阶中找到最大公共子式，这就是行列式因子。 性质：等价的 λ \lambda λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子。 行列式因子就是smith标准型对角线上的元素。

不变因子 不变因子就是smith标准型对角线上的相邻元素之商。 例： 如果一阶子式有一个数字，那么一阶行列式因子就是1。 性质：两个 λ \lambda λ矩阵等价的充要条件是具有相同的行列式因子，有相同的不变因子。

初等因子 对不变因子做因式分解，得到1次因式方幂。

性质： 一、分块矩阵的初等因子是各个块的初等因子。 二、Jorden矩阵的初等因子为