离散数学笔记

2023-03-13 04:03| 来源: 网络整理| 查看: 265

1.3 命题等价式 1.3.1 逻辑等价式 1.3.2 条件命题和双条件命题的逻辑等价式 1.3.3 德·摩根律 1.3.4 可满足性可满足的不可满足的可满足性问题的解 1.3.5析取范式（基本积之和），合取范式（基本和之积）1.3.6合式公式1.定义2.等价转换成主析（合）取范式

1.3.1 逻辑等价式

定义1

永真式（重言式）：一个真值永远为真的复合命题。（无论其中出现的命题变量的真值是什么）矛盾式（永假式）：一个真值永远为假的复合命题。可能式：既不是永真式也不是矛盾式的复合命题。

永真和矛盾的例子：

p∧¬pp∨¬p矛盾永真

定义2

逻辑等价：如果p↔q是永真式，则复合命题p和q称为是逻辑等价的。记作p≡q 或 p⇔q

注意不要写成等号 " = " !

注：符号 ≡ 和 ⇔ 不是逻辑联结词，p≡q 不是一个复合命题，而是代表 “p↔q是永真式” 这个语句

等价式名称p∧T ≡ p ；p∨F ≡ p恒等律p∨T ≡ T ； p∧F ≡ F支配律p∨p ≡ p ；p∧p ≡ p幂等律¬( ¬p) ≡ p双重否定律p∨q ≡ q ∨ p ；p∧q ≡ q ∧ p交换律(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) ； (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)结合律p ∨ （q ∧ r） ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ；p ∧ （q ∨ r） ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)分配律（改变优先级）¬ ( p∧q ) ≡ ¬ p∨¬ q ；¬ ( p∨q ) ≡ ¬ p∧¬ q德·摩根律（去括号）p ∨(p ∧ q) ≡ p ； p ∧(p ∨ q) ≡ p吸收律p∧¬p ≡ F ；p∨¬p ≡ T否定律 1.3.2 条件命题和双条件命题的逻辑等价式

→ ≡ ¬ ∧ ∨

条件命题的逻辑等价式（常用）p → q ≡ ¬ p ∨ qp → q ≡ ¬ q → ¬ p (原命题 ≡ 逆否命题 )(p → q) ∧ (p → r) ≡ p → (q∧ r)(p → q) ∨ (p → r) ≡ p → (q∨ r) 双条件命题的逻辑等价式p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)¬( p ↔ q) ≡ p ↔ ¬ qp ↔ q ≡ ¬ p ↔ ¬ q p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) 1.3.3 德·摩根律

德·摩根律（De Morgan’s law）

德·摩根律¬ ( p∧q ) ≡ ¬ p∨¬ q≡ p ↑ q¬ ( p∨q ) ≡ ¬ p∧¬ q≡ p ↓ q

德·摩根律告诉我们如何取合取、析取的否定。

1.3.4 可满足性可满足的

一个复合命题是可满足的，当且仅当存在一个对其变量的真值赋值使其为真。（即当它是一个永真式or可满足式时）

不可满足的

一个复合命题是不可满足的，当且仅当它的否定是可满足的。

可满足性问题的解

当我们找到一个特定的使得复合命题为真的真值赋值时（就证明了它是可满足的），这样的一个赋值称为这个特定的可满足问题的一个解

1.3.5析取范式（基本积之和），合取范式（基本和之积） 1.3.6合式公式 1.定义

命题逻辑的合式公式 (wff, well‐formed formula)

• 1)一个命题变量 p 是一个 wff； • 2)若 A 是 wff，则 (¬A) 也是 wff； • 3)若 A, B 是 wff，则 (A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B) 也是wff； • 4)当且仅当有限次使用上述规则得到的公式才是 wff。

上述定义是归纳定义：1)是归纳基始，2) 3)是归纳步，4)是最小化规则命题逻辑的合式公式简称为公式或命题公式。

⌛一般一个命题公式的真值是不确定的，只有当用确定的命题去取代命题公式中的命题变元（变元 = 变量），或对命题变元进行真值指派时，命题公式才成为具有确定真值的命题。所以，命题公式不是命题。

2.等价转换成主析（合）取范式

任何命题公式都可以等价地转换成它的主析取范式，也可以等价地转换成它的主合取范式

┐((P→Q)∧(R→P))∨┐((R→┐Q)→┐P)

≡ ┐((┐P∨Q)∧(┐R∨P))∨┐(┐(┐R∨┐Q)∨┐P) ≡ (┐(┐P∨Q)∨┐(┐R∨P))∨(┐┐(┐R∨┐Q)∧┐┐P) ≡ (P∧┐Q)∨(R∧┐P)∨((┐R∨┐Q)∧P) ≡ (P∧┐Q)∨(R∧┐P)∨(┐R∧P)∨(┐Q∧P) ≡ (P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q∧┐R)∨(R∧Q∧┐P)∨(R∧┐Q∧┐P)∨ 　　∨(┐R∧Q∧P)∨(┐R∧┐Q∧P)∨(R∧┐Q∧P)∨(┐R∧┐Q∧P) ≡ (P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧R)∨(P∧Q∧┐R) ≡ m5∨m4∨m3∨m1∨m6 (主析取范式) ≡ M0∧M2∧M7 (主合取范式)

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