莱布尼茨定理判断条件收敛

莱布尼茨定理判断条件收敛

莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的重要定理之一。交错级数是指

正负项交替出现的级数，如

1-1/2+1/3-1/4+1/5-

1/6+……

。交错级

数的收敛性比较复杂，不能直接使用比较判别法、根值判别法等常

用的收敛判别法。因此，莱布尼茨定理成为了判断交错级数收敛的

重要工具。

莱布尼茨定理的表述如下：若交错级数的绝对值递减趋于零，即

|an|≥|an+1|

，且

an

的极限为零，则交错级数收敛。换句话说，如果

交错级数的每一项都比前一项的绝对值小，且交错级数的正项和负

项分别趋近于零，那么这个交错级数就是收敛的。

莱布尼茨定理的证明比较复杂，这里不再赘述。但是，我们可以通

过一个例子来理解莱布尼茨定理的应用。

考虑交错级数

1-1/2+1/3-1/4+1/5-

1/6+……

。我们可以发现，这个

交错级数的每一项都比前一项的绝对值小，即

|an|≥|an+1|

。同时，

这个交错级数的正项和负项分别趋近于零，即

an

的极限为零。因此，

根据莱布尼茨定理，这个交错级数是收敛的。

需要注意的是，莱布尼茨定理只适用于交错级数，而不适用于其他

类型的级数。因此，在判断级数收敛时，我们需要根据不同的级数

类型选择不同的收敛判别法。

莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的重要定理，它告诉我们，如果