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即使证明课本定理一直是考研数学的争议点,但是 32 年来高数课本定理的证明已经考得差不多了,其中牛顿莱布尼茨公式: ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a) ∫abf(x)dx=F(b)−F(a) 便是没有考到的其中之一。 证明: ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a) ∫abf(x)dx=F(b)−F(a), 其中 F ( x ) 为 f ( x ) F(x) 为 f(x) F(x)为f(x) 的原函数。【证明】1 可知: F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t + C F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t + C F(x)=∫axf(t)dt+C,其中, C C C为任意常数,则有: F ( a ) = ∫ a a f ( t ) d t + C = C F(a) = \int_a^a f(t) \mathrm{d}t + C = C F(a)=∫aaf(t)dt+C=C F ( b ) = ∫ a b f ( t ) d t + C F(b) = \int_a^b f(t) \mathrm{d}t + C F(b)=∫abf(t)dt+C 故, F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( t ) d t F(b) - F(a) = \int_a^b f(t) \mathrm{d}t F(b)−F(a)=∫abf(t)dt 即: F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x F(b)−F(a)=∫abf(x)dx 证毕。 证明定理的争议在于在证明的过程中可不可以使用其他定理,比如我证明这道题的前提便是:“可知: F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t + C F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t + C F(x)=∫axf(t)dt+C ”,所以 F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x) = f(x) F′(x)=f(x)。但这个前提是否也需要证明,便是争议的地方。那末,我们也不妨证明一下: 设 F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t + C F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t + C F(x)=∫axf(t)dt+C,证明: F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x) = f(x) F′(x)=f(x)。【证明】2 根据导数定义: F ′ ( x ) = lim Δ x → 0 F ( x + Δ x ) − F ( x ) Δ x F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} F′(x)=Δx→0limΔxF(x+Δx)−F(x) = lim Δ x → 0 ∫ a x + Δ x f ( t ) d t − ∫ a x f ( t ) d t Δ x =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int_a^{x+\Delta x}f(t) \mathrm{d}t - \int_a^xf(t)\mathrm{d}t}{\Delta x} =Δx→0limΔx∫ax+Δxf(t)dt−∫axf(t)dt = lim Δ x → 0 ∫ x a f ( t ) d t + ∫ a x + Δ x f ( t ) d t Δ x =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int_x^af(t) \mathrm{d}t + \int_a^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t}{\Delta x} =Δx→0limΔx∫xaf(t)dt+∫ax+Δxf(t)dt = lim Δ x → 0 ∫ x x + Δ x f ( t ) d t Δ x =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t}{\Delta x} =Δx→0limΔx∫xx+Δxf(t)dt 根据积分中值定理3: ∃ ξ ∈ ( x , x + Δ x ) \exists \xi \in (x, x+\Delta x) ∃ξ∈(x,x+Δx),使得: ∫ x x + Δ x f ( t ) d t = f ( ξ ) ⋅ ( x + Δ x − x ) = f ( ξ ) ⋅ Δ x \int_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t = f(\xi)\cdot (x+\Delta x - x) = f(\xi)\cdot \Delta x ∫xx+Δxf(t)dt=f(ξ)⋅(x+Δx−x)=f(ξ)⋅Δx 故, F ′ ( x ) = lim Δ x → 0 f ( ξ ) ⋅ Δ x Δ x = lim Δ x → 0 f ( ξ ) F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\xi)\cdot \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(\xi) F′(x)=Δx→0limΔxf(ξ)⋅Δx=Δx→0limf(ξ) 当 Δ x → 0 \Delta x \to 0 Δx→0 时, ξ → x \xi \to x ξ→x,故 F ′ ( x ) = lim Δ x → 0 f ( ξ ) = f ( x ) F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}f(\xi) = f(x) F′(x)=Δx→0limf(ξ)=f(x) 证毕。 那末,问题再次出现了,我们还要证明积分中值定理? 参考《牛顿-莱布尼茨公式的详细证明》 ↩︎ LaText语法参考《LaTeX 各种命令,符号》 ↩︎ 《积分中值定理的证明》 ↩︎ |
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