莱布尼茨收敛判别法

莱布尼茨收敛判别法

莱布尼茨收敛判别法是一种用于判断无穷级数收敛性的方法，它是

由德国数学家莱布尼茨在

17

世纪提出的。这个方法的基本思想是

通过比较无穷级数的通项和一个已知的收敛级数的通项之间的大小

关系来判断无穷级数的收敛性。

具体来说，莱布尼茨收敛判别法适用于交替级数，即由正项和负项

交替组成的级数。对于这种级数，莱布尼茨收敛判别法的条件是：

①

级数的通项必须单调递减；

②

级数的通项必须趋于零。如果这两

个条件都满足，那么这个交替级数就是收敛的。

莱布尼茨收敛判别法的证明比较简单，可以通过比较级数的部分和

来进行。具体来说，假设交替级数的通项为

an

，那么它的部分和可

以表示为

Sn=an+an-1+...+a1

。由于

an

单调递减，所以对于任意的

n

，

有

an≥an+1

，进而有

Sn≥an+1

。又因为

an

趋于零，所以当

n

趋于

无穷大时，

Sn

也趋于一个有限的极限值。因此，这个交替级数是收

敛的。

需要注意的是，莱布尼茨收敛判别法只适用于交替级数，对于其他

类型的级数并不一定适用。此外，莱布尼茨收敛判别法只能判断级

数的收敛性，不能确定级数的具体值。因此，在实际应用中，我们

需要结合其他方法来求解级数的值。

莱布尼茨收敛判别法是一种简单而实用的判断无穷级数收敛性的方