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一道题总结与归纳
最近在复习自动控制原理,想看看自控的题能不能用matlab来简单地做出来,想到了一个理解梅森公式的角度,记录如下:
一道题
首先我们来看到一道题: 这题看上去挺简单的,但是梅森公式太不难记忆并且难以用计算机实现了,那么我们从根本出发来探究一下梅森公式是如何推导的,首先由信号流图写出相应的代数方程式: 传递函数G(s)=C(s)/R(s)=X5/R(s),为了便于求解,整理得: 全部写成矩阵的方式即:X=QX+PR,我们只需要解出X=PR/(I-Q),X(5)/R就是我们要的传递函数 p.s. 为了编写代码的方便,我们完全可以直接求P/(I-Q) 根据这个算法,写出的MATLAB程序如下: syms G1 G2 G3 G4 H1 H2 H3; Q(1,5)=-H1; %字符矩阵的第一个赋值必须是字符 Q(2,1)=G1;Q(2,4)=-H2; Q(3,2)=G2;Q(3,5)=-H3; Q(4,3)=G3; Q(5,4)=G4; P=[1;0;0;0;0]; I=eye(size(Q)); W=(I-Q)\P; W5=W(5);结果如下: 可以看到和用梅森公式的结果一模一样 总结与归纳设信号流图中有Ki个输入节点,K个中间和输出节点,它们分别代表输入信号ui(i=1,2,…Ki)和系统状态xj(j=1,2,…K)。信号流图代表它们之间的联结关系。用拉普拉斯算子表示后,任意xj可以表为ui和xj的线性组合: 用矩阵表示可写成: 其中:X = [x1;x2;…xk] 为K维状态列向量, U=[u1;u2;…;uki] 为Ki维输入列向量,Q为K×K维的连接矩阵,P为K×Ki维的输入矩阵。 由此可得: 因此,系统的传递函数矩阵为 P/(I-Q),这个简明的公式就等价于梅森公式。只要写出P和Q,任何复杂系统的传递矩阵都可用这个简单的式子,通过MATLAB求出,若代入的是符号,得出的是公式,代入的是LTI数据,得出的是系统相应的LTI传递矩阵的值。 为了更加深入地理解P,来看一道有两个输入的题: 求下图的传递函数 答: matlab程序: clear; syms G1 G2 H1; Q(2,1)=G1; Q(3,2)=G2; Q(1,3)=-H1; P=[1 0;0 1;0 0]; I=eye(size(Q)); W=(I-Q)\P; W3=W(3);运行结果 参考资料: 1.http://see.xidian.edu.cn/faculty/hchchen/html/paper/100.html 2.胡寿松《自动控制原理》 觉得有用就点赞一下吧~ |
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