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数学建模：K
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原理
当K-means聚类的k值不被指定时，可以通过手肘法来估计聚类数量。 在聚类的过程中，随着聚类数的增大，样本划分会变得更加精细，每个类别的聚合程度更高，那么误差平方和（SSE）会逐渐变小，误差平方和即该类重心与其内部成员位置距离的平方和。SSE是手肘法的核心指标，其公式为： S S E = ∑ i = 1 k ∑ p ∈ C ∣ p − m i ∣ 2 SSE=\sum_{i=1}^{k}\sum_{p\in C}|p-m_i|^2 SSE=i=1∑kp∈C∑∣p−mi∣2 其中， c i c_i ci是第 i 个簇， p p p是 c i c_i ci中的样本点， m i m_i mi是 c i c_i ci的质心（ c i c_i ci中所有样本均值），代表了聚类效果的好坏。 当 k 小于真实聚类数时，由于 k 的增大会增加每个簇的聚合程度，故 SSE 的下降幅度会很大；而当 k 到达真实聚类数时，再增加 k 所得到的聚合程度回报会迅速变小，所以 SSE 的下降幅度会骤减，然后随着 k 值的继续增大而趋于平缓。也就是说 SSE 和 k 的关系图是一个手肘的形状，而这个肘部对应的 k 值就是数据的真实聚类数。 代码 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sklearn.cluster import KMeans from sklearn.preprocessing import StandardScaler from sklearn.decomposition import PCA plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 显示中文 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 显示负号 # 加载数据 X=data.iloc[:, 3:15] # 标准化数据 scaler = StandardScaler() X_scaled = scaler.fit_transform(X) # 使用PCA进行降维 pca = PCA(n_components=2) X_pca = pca.fit_transform(X_scaled) # 使用手肘法确定最佳的K值 inertia = [] for k in range(1, 11): kmeans = KMeans(n_clusters=k, random_state=42) kmeans.fit(X_scaled) inertia.append(kmeans.inertia_) # 绘制手肘法图表 plt.figure(figsize=(8, 4)) plt.plot(range(1, 11), inertia, marker='o', linestyle='--') plt.ylabel('误差平方和') plt.title('手肘法图表') plt.savefig('手肘法图.png',dpi=300) plt.grid(True) plt.show() # 从手肘法图表中选择最佳的K值 # 在这个示例中，根据手肘法，选择K=3 # 使用最佳的K值进行K-Means聚类 best_k = 4 kmeans = KMeans(n_clusters=best_k, random_state=42) kmeans.fit(X_scaled) # 将簇标签添加到原始数据中 data['亚类别'] = kmeans.labels_ # 打印每个簇中的样本数量 print(data['亚类别'].value_counts()) # PCA绘制降维后的数据及其簇分布 plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.scatter(X_pca[:, 0], X_pca[:, 1], c=kmeans.labels_, cmap='viridis') plt.xlabel('主成分1') plt.ylabel('主成分2') plt.title('K-Means 结果') plt.savefig('K-Means 结果.png',dpi=300) plt.show() 结果： |
这个问题中，根据手肘法，我们选择最佳k值应该为4。【本文地址】
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