运用聚点的定义，求数集聚点的实例

求数集聚点是一个既简单又复杂的问题。简单之处在于，如果只要求出任意聚点，那就很简单。复杂之处在于，如果要证明只有有限个聚点，那就没那么容易了。比如下面这道例题，分成两个部分，前面部分要求出两个聚点就相当简单，后面部分要求证明只有两个聚点，就相当复杂。

验证：数集{(-1)^n+ 1/n}有且只有两个聚点ξ1=-1, ξ2=1.

证：记Sn=(-1)^n+ 1/n；则lim(k→∞)S_(2k)=lim(k→∞)((-1)^2k+1/(2k))=1.【为了描述方便，把数集记成点列Sn的形式，其中偶数项形成的数列就以1为极限】

lim(k→∞)S_(2k-1)=lim(k→∞) ((-1)^(2k-1)+1/(2k-1))=-1.【奇数项形成的数列又以-1为极限】

由聚点的定价定义2知，±1是{Sn}的聚点. 【这里也可以看出，聚点不一定是极限。接下来证明±1是sn仅有的两个聚点】

设ξ0是不同于±1的聚点，则取ε0= 1/2*min[|ξ0-1|, |ξ0+1|],【就是使ξ0的ε0开邻恰好与±1的ε0开邻域没有交集，或者它们的闭邻域的交集最多只有一个点，就是±1中的一个与ξ0的中点，高数极限方面的知识，很大程度就看取这个伊普西龙的能力】

则存在N=1/ε0 , 当n=2k>N时，1-ε0