18. 二元随机变量分布函数、边际分布函数及条件分布函数

定义： 设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 是二元随机变量，对于任意实数 x , y x, y x,y，二元函数

F ( x , y ) = P { ( X ≤ x ) ⋂ ( Y ≤ y ) } = 记成 P ( X ≤ x , Y ≤ y ) F(x,y)=P\{(X\leq x) \bigcap (Y\leq y)\} \overset{\text{记成}}{=}P(X\leq x,Y\leq y) F(x,y)=P{(X≤x)⋂(Y≤y)}=记成P(X≤x,Y≤y)

称为二元随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的联合分布函数。

例 1： 设随机变量 X X X 在 1、2、3、4 四个整数中等可能地取一个值，随机变量 Y Y Y 在 1 ∼ X 1\sim X 1∼X 中等可能地取一个整数值，求 F ( 3.5 , 2 ) F(3.5, 2) F(3.5,2).

解： X 、 Y X、Y X、Y 的取值情况均为 1,2,3,4；当 i , j = 1 , ⋯   , 4 i,j=1,\cdots,4 i,j=1,⋯,4 时

P ( X = i , Y = j ) = P ( X = i ) P ( Y = j ∣ X = i ) = { 1 4 × 1 i , i ≥ j 1 4 × 0 , i < j P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i)=\begin{cases} \cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{i}, &i\geq j \\ \\ \cfrac{1}{4} \times 0, &i1−e−0.5x,0,​x≥0x 0 P(Y=y)>0 P(Y=y)>0，则在 Y = y Y=y Y=y 条件下， X X X 的条件分布函数为：

F X ∣ Y ( x ∣ y ) = P ( X ≤ x ∣ Y = y ) = P ( X ≤ x , Y = y ) P ( Y = y ) F_{X|Y}(x|y) = P(X\leq x|Y=y)=\cfrac{P(X\leq x, Y=y)}{P(Y=y)} FX∣Y​(x∣y)=P(X≤x∣Y=y)=P(Y=y)P(X≤x,Y=y)​

若 Y Y Y 位离散型随机变量，就可满足 P ( Y = y ) > 0 P(Y=y)>0 P(Y=y)>0，但当 Y Y Y 为连续型随机变量时，显然 P ( Y = y ) = 0 P(Y=y)=0 P(Y=y)=0，所以这时不能这样定义条件分布函数。

若 P ( Y = y ) = 0 P(Y=y)=0 P(Y=y)=0，但对任一 ϵ > 0 , P ( y < Y ≤ y + ϵ ) > 0 \epsilon > 0, P(y0 ϵ>0,P(y0，则在 Y = y Y=y Y=y 条件下， X X X 的条件分布函数定义为：

F X ∣ Y ( x ∣ y ) = lim ⁡ ϵ → 0 + P ( X ≤ x ∣ y < Y ≤ y + ϵ ) = lim ⁡ ϵ → 0 + P ( X ≤ x , y < Y ≤ y + ϵ ) P ( y < Y ≤ y + ϵ ) \begin{aligned} F_{X|Y}(x|y) &= \lim_{\epsilon\to 0^{+}}P(X\leq x|y