粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)的详细解读

1995年，受到鸟群觅食行为的规律性启发，James Kennedy和Russell Eberhart建立了一个简化算法模型，经过多年改进最终形成了粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO) ，也可称为粒子群算法[1]。

粒子群算法具有收敛速度快、参数少、算法简单易实现的优点（对高维度优化问题，比遗传算法更快收敛于最优解），但是也会存在陷入局部最优解的问题，enen......

粒子群算法的思想源于对鸟群觅食行为的研究，鸟群通过集体的信息共享使群体找到最优的目的地。如下图，设想这样一个场景：鸟群在森林中随机搜索食物，它们想要找到食物量最多的位置。但是所有的鸟都不知道食物具体在哪个位置，只能感受到食物大概在哪个方向。每只鸟沿着自己判定的方向进行搜索，并在搜索的过程中记录自己曾经找到过食物且量最多的位置，同时所有的鸟都共享自己每一次发现食物的位置以及食物的量，这样鸟群就知道当前在哪个位置食物的量最多。在搜索的过程中每只鸟都会根据自己记忆中食物量最多的位置和当前鸟群记录的食物量最多的位置调整自己接下来搜索的方向。鸟群经过一段时间的搜索后就可以找到森林中哪个位置的食物量最多（全局最优解）。

将鸟群觅食行为和算法原理对应，如下图：

① 第 i 个粒子的位置为：

X_{id}=\left(x_{i 1}, x_{i 2}, \ldots, x_{i D}\right)

② 第 i 个粒子的速度（粒子移动的距离和方向）为：

V_{id}=\left(v_{i 1}, v_{i 2}, \ldots, v_{i D}\right)

③ 第 i 个粒子搜索到的最优位置（个体最优解）为：

P_{id,pbest}=\left(p_{i 1}, p_{i 2}, \ldots, p_{i D}\right)

④ 群体搜索到的最优位置（群体最优解）为：

P_{d,gbest}=\left(p_{1,gbest}, p_{2,gbest}, \ldots, p_{D,gbest}\right)

⑤ 第 i 个粒子搜索到的最优位置的适应值（优化目标函数的值）为：

f_p——个体历史最优适应值

⑥ 群体搜索到的最优位置的适应值为：

f_g——群体历史最优适应值

表述上叫速度，实际上就是粒子下一步迭代移动的距离和方向，也就是一个位置向量。

\[v_{id}^{k+1}=\omega v_{id}^{k}+{{c}_{1}}{{r}_{1}}\left( p_{id,\text{pbest}}^{k}-x_{id}^{k} \right)+{{c}_{2}}{{r}_{2}}\left( p_{d\text{,gbest}}^{k}-x_{id}^{k} \right)\\\]

① 第一项：惯性部分

② 第二项：认知部分

③ 第三项：社会部分

N——粒子群规模；i ——粒子序号，\[i=1,2,\ldots ,N\]；

D ——粒子维度；d ——粒子维度序号，d=1,2, \ldots, D；

k ——迭代次数；\[\omega\] ——惯性权重； {{c}_{1}} ——个体学习因子； {{c}_{2}} ——群体学习因子；

{{r}_{1}},{{r}_{2}} ——区间 [0,1] 内的随机数，增加搜索的随机性；

v_{id}^{k} ——粒子 i 在第 k 次迭代中第 d 维的速度向量；

x_{id}^{k} ——粒子 i 在第 k 次迭代中第 d 维的位置向量；

p_{id,\text{pbest}}^{k} ——粒子 i 在第 k 次迭代中第 d 维的历史最优位置，即在第 k 次迭代后，第 i 个粒子（个体）搜索得到的最优解；

p_{d\text{,gbest}}^{k} ——群体在第 k 次迭代中第 d 维的历史最优位置，即在第 k 次迭代后，整个粒子群体中的最优解。

粒子下一步迭代的移动方向 = 惯性方向 + 个体最优方向 + 群体最优方向

上一步的位置 + 下一步的速度

\[x_{id}^{k+1}=x_{id}^{k}+v_{id}^{k+1}\\\]

粒子搜索的空间维数即为自变量的个数。

1998年，Yuhui Shi和Russell Eberhart对基本粒子群算法引入了惯性权重(inertia weight)\[\omega\]，并提出动态调整惯性权重以平衡收敛的全局性和收敛速度，该算法被称为标准PSO算法（本文所介绍）[2]。

惯性权重 w 表示上一代粒子的速度对当代粒子的速度的影响，或者说粒子对当前自身运动状态的信任程度，粒子依据自身的速度进行惯性运动。惯性权重使粒子保持运动的惯性和搜索扩展空间的趋势。\[\omega\] 值越大，探索新区域的能力越强，全局寻优能力越强，但是局部寻优能力越弱。反之，全局寻优能力越弱，局部寻优能力强。较大的 \[\omega\] 有利于全局搜索，跳出局部极值，不至于陷入局部最优；而较小的 \[\omega\] 有利于局部搜索，让算法快速收敛到最优解。当问题空间较大时，为了在搜索速度和搜索精度之间达到平衡，通常做法是使算法在前期有较高的全局搜索能力以得到合适的种子，而在后期有较高的局部搜索能力以提高收敛精度，所以 w 不宜为一个固定的常数[3]。

在解决实际优化问题时，往往希望先采用全局搜索，使搜索空间快速收敛于某一区域，然后采用局部精细搜索以获得高精度的解。因此提出了自适应调整的策略，即随着迭代的进行，线性地减小 \[\omega\] 的值。这里提供一个简单常用的方法——线性变化策略：随着迭代次数的增加，惯性权重\[\omega\]不断减小，从而使得粒子群算法在初期具有较强的全局收敛能力，在后期具有较强的局部收敛能力。

\[\omega ={{\omega }_{\max }}-\left( {{\omega }_{\max }}-{{\omega }_{\min }} \right)\frac{\text{iter}}{\text{ite}{{\text{r}}_{\max }}}\\\]

{{\omega }_{\max }} ——最大惯性权重； {{\omega }_{\min }} ——最小惯性权重；

{\text{iter}} ——当前迭代次数； {\text{ite}{{\text{r}}_{\max }}} ——最大迭代次数。

（5）学习因子： {{c}_{1}},{{c}_{2}}

也称为加速系数或加速因子（这两个称呼更加形象地表达了这两个系数的作用）

即优化目标函数的值，用来评价粒子位置的好坏程度，决定是否更新粒子个体的历史最优位置和群体的历史最优位置，保证粒子朝着最优解的方向搜索。

限制粒子搜索的空间，即自变量的取值范围，对于无约束问题此处可以省略。

为了平衡算法的探索能力与开发能力，需要设定一个合理的速度范围，限制粒子的最大速度 v_{max} ，即粒子下一步迭代可以移动的最大距离。

一般有两种：

① 最大迭代步数

② 可接受的满意解：上一次迭代后最优解的适应值与本次迭代后最优解的适应值之差小于某个值后停止优化

粒子群算法优化的结果受很多因素的影响，其中受粒子初始值的影响比较大，而且较难调控。如果粒子初始值是随机初始化的，在不改变任何参数的情况下，多次优化的结果不一定都收敛到一个全局或局部最优解，也可能会得到一个无效解。所以粒子初始化是一个十分重要的步骤，它关系到整个优化过程中优化收敛的速度与方向。如果粒子的初始化范围选择得好的话可以大大缩短优化的收敛时间，也不易于陷入局部最优解。我们需要根据具体的问题进行分析，如果根据我们的经验判断出最优解一定在某个范围内，则就在这个范围内初始化粒子。如果无法确定，则以粒子的取值边界作为初始化范围。

这部分等我有空了再补充，个人项目实践代码不方便上传，网上很多采用matlab、python、C语言实现的简单例子，虽然有些符号表示不一致，但是大致意思是一样的。只有跑过代码才能真正地理解算法的内涵，建议复现一下下面的代码：

我在启发式优化算法讲座上请教过上交大的周杨青老师和港中文的付樟华老师两个问题：

问题1：如何判断是达到了全局最优解还是局部最优解？

回答1：很难确定是达到了全局最优解还是局部最优解的，只能凭感觉......

问题2：如何提高算法的重复精度？在用粒子群算法求解时，并不能保证每次求解都能得到一个较好的解，算法受初始值的影响比较大。

回答2：看算力的，有些初始值会对解影响比较大，有些是没什么影响的。

python中的粒子群算法库、包：pyPSO、scikit-opt、deap

另外，笔者发表了一篇采用PSO算法优化四足机器人足端轨迹的小论文，感兴趣的朋友可以去瞅瞅：

Biologically Inspired Planning and Optimization of Foot Trajectory of a Quadruped Robot

写于2021.1.22......