【兴业定量任瞳团队】期权每日一策（陆拾）：鲨鱼鳍期权的定价

其中， N(·)表示累积标准正态分布函数；

至此，我们讨论的鲨鱼鳍期权都是标准形式，即期权敲出以后收益为零；但是在实际情况中，考虑到投资者的需求，许多鲨鱼鳍期权都被设计成带敲出收益的形式，即当资产价格达到障碍水平时，期权失效的同时买方获得一笔补偿收益，称为敲出收益。当障碍期权有敲出收益的时候，使用概率方法根据首次触碰障碍的密度函数对敲出收益进行贴现，可以得到的敲出部分收益。同样以向上敲出的看涨期权为例，根据联合概率密度函数，可以知道期权敲出的概率为：

其中有：

故敲出部分期权的价格为：

其中，R表示敲出收益。在实际交易中这种收益结构很常见，如果一份鲨鱼鳍期权具有敲出收益，那么在对其进行定价的时候，需要将其拆分成两部分进行定价：第一部分为不考虑敲出收益的部分，另外一部分为敲出部分收益。将完整的期权价格表示为CALL，故有：

这里是以向上敲出的看涨期权为例，其他类型的鲨鱼鳍期权定价思想也是类似的，在此不再赘述。

二、蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗是一种通过模拟标的资产价格随机运动路径得到定价产品期望价值，并将此期望价值贴现至现在时点来估计衍生品价格的数值方法，其本质是模拟标的变量的随机运动，预测其衍生品的平均回报，并由此得到衍生品价格的概率解。

蒙特卡罗的优点在于可以对各种复杂衍生产品进行定价，思想较为直接，但是在用此方法对标的资产价格进行路径模拟并对鲨鱼鳍期权定价的时候，有一个不得不注意的问题：对于任意一条路径，我们都要确定在此情况下障碍期权是否敲出，故需要比较标的资产价格的最大值（或最小值）与障碍价格的大小，所以在进行蒙特卡罗模拟的时候，我们不仅需要知道每一个时间节点上标的资产的价格，而且要确定在此区间内，标的资产是否被敲出。但是在普通的蒙特卡罗模拟过程中，只能模拟节点的价格，而无法得知在此区间标的价格的最大值，所以无法准确判断标的在此区间是否越过了障碍价格，导致定价并不准确。

为了提高定价的准确性，在此运用一种改进的蒙特卡罗方法（参考文献： Kyoung-Sook Moon. Efficient Monte Carlo Algorithm for Pricing Barrier Options [J]. Communications of the Korean Mathematical Society, 2008, 23(23):285-294.），下面以向上敲出的看涨期权为例进行说明：对于每一条路径(设置时间节点个数为n)，由于标的资产价格服从布朗运动，可以计算出在时间区间[tk,tk+1]内，资产价格不小于障碍价格B的概率Pk,并同时产生0-1上均匀分布的随机数uk，有：

在该路径下，若每个时间节点都满足Sk