【概率论】4

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Abstract: 本文介绍均值和中值的对比，以及最小平方误差，最小绝对误差 Keywords: Mean，Median，Mean Squared Error，Mean Absolute Error

昨天犯了个大错误，google分析配置出错了，所以这两天博客访问一直显示零，所以昨天都很沮丧，生活有时候就这样，一些错误，后果非常让人非常沮丧，我们在面对这些沮丧的结果时的态度能决定我们的所有。 均值是度量分布中心位置的一种方法，中值也是，这就是我们上一篇说到的，关于一个属性的定义，我们现在定义分布的中心位置，就有了两种方法，这两种都能定义中心的合理方法，各有各的优点，也有自己的缺点，所以我们今天就来对比下这两种中心位置的数字特点。

4.1中介绍过一个分布的的期望，是在随机变量所在的数轴的重心位置，这种角度下，期望是一个中心位置。 另一种就是假设存在某个随机变量 m 0 m_0 m0​ 小于 m 0 m_0 m0​ 对应的概率是 1 / 2 1/2 1/2 大于 m 0 m_0 m0​ 的对应概率为 1 / 2 1/2 1/2 这从某种意义上说也是一个中心位置。 两个不一样的定义方式，就有两种不同的方法用于不同的问题 最简单的例子就是图像处理里面两种不同的滤波，均值滤波和中值滤波，对应处理的噪声也完全不同。 均值，也就是期望我们已经研究了4篇了，今天我们主要研究一下中值，虽然在c.d.f中有介绍，但是我们还是重新说说。 值得一提的是与均值不同，分布的均值可以有一个或者没有，而中值可以有一个，还可以有很多个，这个我们后面会说到。

Definition Median.Let X X X be a random varibale.Every number m m m with the following prperty is called a median of the distribution of X X X: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ at position 37: …\leq m)\geq 1/2\̲ ̲\end{aligned} \…

中值的定义如上，还有一种跟奇特的说法和上面是等价的。

Firest,if m is included with the values of X to the left of m,then P r ( X ≤ m ) ≥ P r ( X > m ) Pr(X\leq m)\geq Pr(X>m) Pr(X≤m)≥Pr(X>m)

seconde ,if m is included with the values of X to the right of m,then P r ( X ≥ m ) ≥ P r ( X < m ) Pr(X\geq m)\geq Pr(X m) Pr(Xm) ,that is,if the number m m m does actually divide the total Probability into two equal parts,then m m m will of course be a median of the distribution of X X X

两种定义中值的方法得到一样的结果。值得注意的就是一点，中值可能不止一个，当中值不止一个的时候我们这里选用最小的作为中值，当然，也可以选中间的，或者最大的，这取决于你自己的需求。

文章写到这里，书上开始写🌰，目测有一斤🌰 。例子的核心就是中值不一定只有一个。

最重要的一个区别就是期望有些分布是没有的，但是中值绝对存在，而且有很多时候还不止一个。所以对于某些应用中值的稳定性更好，最简单的例子就是我们伟大祖国各个城市的平均收入贼高，但是你和周围的小伙伴总发现自己拖后腿，那么这时候平均值可能真的不能反映实际的情况，需要用中值，如果你的工资连中值都没到，说明你确实不行，你说你比不过马云马化腾我们理解，你连你隔壁都不如，那就是你的问题了。 下面定义一个双射函数，这个证明我不写了，书上有，但是我觉得不完美，因为我马上要在数学分析那个系列里面讲这个情况，所以这里只给出定理，着急的小伙伴就自己查查资料，不着急的，等我数学分析。

Theorem One-to-One Function.Let X X X be a random variable that takes values in an interval I I I of real numbers.Let r r r be a one-to-one function defined on the interval I I I.If m m m is a median of X X X ,then r ( m ) r(m) r(m) is a median of r ( X ) r(X) r(X)

其实用到的主要特性是双射函数的可逆性质，换句话说就是能找到反函数。

接下来我们开始进入到很贴近应用的部分了。

假设某随机变量 X X X 其期望是 μ \mu μ 方差是 σ 2 \sigma^2 σ2 ，并且假设， X X X 是通过某种试验得到的结果，现在我们还没有做实验，但是我们希望预测下结果，应该怎么做。 这个课题熟悉不？买彩票，买股票，赌博，各位老铁，激动了么，说实话，想指着学了这点概率发家致富，你还是去睡觉吧，可能睡觉致富更快一点。 为了预测出一个靠谱的结果，我们要做的第一件事不是找结果，而是告诉大家啥样的猜测算靠谱。你总预测我能当美国总统也不现实。 靠谱，就是错误小，没法生的时候，就是发生错误的可能性小，换句话说，就是犯错的期望值最小。

Definition Mean Squared Error/M.S.E… The number E [ ( X − d ) 2 ] E[(X-d)^2] E[(X−d)2] is called the mean squared error(M.S.E) of prediction d d d .

这个地方定义了错误，也就是什么是不靠谱的概率，也就是靠谱的概率。

Theorem Let X X X be a random varibale with finite variance σ 2 \sigma^2 σ2 ,and let μ = E ( X ) \mu=E(X) μ=E(X) .For every number d d d , E [ ( X − μ ) 2 ] ≤ E [ ( X − d ) 2 ] E[(X-\mu)^2]\leq E[(X-d)^2] E[(X−μ)2]≤E[(X−d)2] Furthermore ,there will be equality in the relation if and only if d = μ d=\mu d=μ

上面这个定理是说任何随机变量的均方误差都是大于等于方差的，等于号当且仅当d是均值的时候成立，我们需要证明下： E [ ( X − d ) 2 ] = E ( X 2 + 2 d X + d 2 ) = E ( X 2 ) − 2 d μ + d 2 \begin{aligned} E[(X-d)^2]&=E(X^2+2dX+d^2)\\ &=E(X^2)-2d\mu+d^2 \end{aligned} E[(X−d)2]​=E(X2+2dX+d2)=E(X2)−2dμ+d2​

上面式子中，只有当 d = μ d=\mu d=μ 的时候才能得到最小值，这个最小值也就是方差，简单的求最值，这里就不啰嗦了。

所以在一个分布已知的情况下，预测就预测均值，其均方误差一定是最小的。

跟上面的最小均方误差出发点类似的，也是我们先要定义一个误差，这个误差越大表示结果越不好，那么：

Definition Mean Absolute Error/M.A.E. The number E ( ∣ X − d ∣ ) E(|X-d|) E(∣X−d∣) is called the mean absolute error (M.A.E) of the prediction d d d .

接下来我们要看到的是，在这种误差定义下，我们得到的最优猜测是中值，而不是均值。

Theorem Let X X X be a random variable with finite mean,and let m m m be a median of the distribution of X X X .For every number d d d , E ( ∣ X − m ∣ ) ≤ E ( ∣ X − d ∣ ) E(|X-m|)\leq E(|X-d|) E(∣X−m∣)≤E(∣X−d∣) Furthermore,there will be equality in the relation if and only if d d d is also a median of the distribution of X X X

上面定义的绝对误差期望 M.A.E.在最小化时得到的最优猜测是中值，我们必须要证明一下。 证明： 我们假设连续随机变量 X X X 的p.d.f.是 f f f 所有不同的分布都是类似的。 首先假设 d > m d > m d>m 其中 m m m 是中值

E ( ∣ X − d ∣ ) − E ( ∣ X − m ∣ ) = ∫ − ∞ ∞ ( ∣ x − d ∣ − ∣ x − m ∣ ) f ( x ) d x = ∫ − ∞ m ( d − m ) f ( x ) d x + ∫ m d ( d + m − 2 x ) f x d x + ∫ d ∞ ( m − d ) f ( x ) d x ≥ ∫ − ∞ m ( d − m ) f ( x ) d x + ∫ m d ( d + m ) f x d x + ∫ d ∞ ( m − d ) f ( x ) d x = ( d − m ) [ P r ( X ≤ m ) − P r ( X > m ) ] E(|X-d|)-E(|X-m|)=\int^{\infty}_{-\infty}(|x-d|-|x-m|)f(x)dx\\ =\int^{m}_{-\infty}(d-m)f(x)dx+\int^{d}_{m}(d+m-2x)fxdx+\int^{\infty}_{d}(m-d)f(x)dx\\ \geq \int^{m}_{-\infty}(d-m)f(x)dx+\int^{d}_{m}(d+m)fxdx+\int^{\infty}_{d}(m-d)f(x)dx\\ =(d-m)[Pr(X\leq m)-Pr(X > m)] E(∣X−d∣)−E(∣X−m∣)=∫−∞∞​(∣x−d∣−∣x−m∣)f(x)dx=∫−∞m​(d−m)f(x)dx+∫md​(d+m−2x)fxdx+∫d∞​(m−d)f(x)dx≥∫−∞m​(d−m)f(x)dx+∫md​(d+m)fxdx+∫d∞​(m−d)f(x)dx=(d−m)[Pr(X≤m)−Pr(X>m)]

因为 d > m d > m d>m 且 m m m 是中值,那么： P r ( X ≤ m ) ≥ 1 / 2 ≥ P r ( X > m ) Pr(X\leq m)\geq 1/2 \geq Pr(X>m) Pr(X≤m)≥1/2≥Pr(X>m) 所以上的结果必然是个非负数，最小值只能是当 d = m d=m d=m 时候才相等，因此 E ( ∣ X − d ∣ ) ≥ E ( ∣ X − m ∣ ) E(|X-d|)\geq E(|X-m|) E(∣X−d∣)≥E(∣X−m∣).

同理可以证明 d < m d < m d