【自动控制原理】根轨迹法之绘制根轨迹

在复平面上，用×表示极点，用○表示零点。如开环传递函数 W ( s ) = 2 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 ) W(s)=\frac{2(s+1)}{(s+2)(s+3)} W(s)=(s+2)(s+3)2(s+1)​的零极点分布图为 matlab命令：

开环传递函数某一参量从0变化到无穷时，其闭环系统的特征根在复平面上运动的轨迹称为根轨迹。

由于线性系统性能与特征根密切相关，故研究根的变化可以反映系统性能。比如判定稳定性和响应，就可以按下列区域判定。 而反过来，也可以通过设计根的运行轨迹，选择合适的参数和零极点。

具体来说： （1）开环增益从0变化到∞时，如果根轨迹始终没有越过虚轴进入右半平面，则对于所有K都是稳定的。如果根轨迹与虚轴相交，则相交时对应的 K 0 K_0 K0​值即为临界增益。如果根从左侧运行到右侧，则 0 < K < K 0 01,4}=4条

渐近线条数： n − m = 4 − 1 = 3 n-m=4-1=3 n−m=4−1=3条

渐近线交角： ϕ a = ( 2 k + 1 ) π n − m = π , ± π 3 \phi_a=\frac{(2k+1)\pi}{n-m}=\pi,\pm\frac{\pi}{3} ϕa​=n−m(2k+1)π​=π,±3π​

渐近线交点： σ a = ∑ i = 1 n p i − ∑ j = 1 m z j n − m = − 1 3 \sigma_a=\frac{\sum_{i=1}^{n}p_i-\sum_{j=1}^{m}z_j}{n-m}=-\frac{1}{3} σa​=n−m∑i=1n​pi​−∑j=1m​zj​​=−31​

实轴分布：由零极点分布图知 ( − ∞ , − 3 ) ∪ ( − 2 , − 1 ) (-\infty,-3)\cup(-2,-1) (−∞,−3)∪(−2,−1)是根轨迹区域

分离点： 1 d + 3 = 1 d + 1 + 1 d + 2 + 1 d + 0.5 + j + 1 d + 0.5 − j \frac{1}{d+3}=\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+2}+\frac{1}{d+0.5+j}+\frac{1}{d+0.5-j} d+31​=d+11​+d+21​+d+0.5+j1​+d+0.5−j1​解得 d 1 = − 1.688 ， d 2 = − 3.722 ， d 3 , 4 = − 0.67 ± 0.592 j d_1=-1.688，d_2=-3.722，d_{3,4}=-0.67\pm 0.592j d1​=−1.688，d2​=−3.722，d3,4​=−0.67±0.592j（舍） 分离角： ϕ d = ± π 2 \phi_d=\pm\frac{\pi}{2} ϕd​=±2π​

与虚轴交点： 闭环特征方程 D ( s ) = s 4 + 4 s 3 + 6.25 s 2 + 5.75 s + 2.5 + K g ∗ s + 3 K g ∗ = 0 D(s)=s^4+4s^3+6.25s^2+5.75s+2.5+K_{g}^*s+3K_{g}^*=0 D(s)=s4+4s3+6.25s2+5.75s+2.5+Kg∗​s+3Kg∗​=0，令 s = j ω s=j\omega s=jω 得 D ( j ω ) = ω 4 − 4 ω 3 j − 6.25 ω 2 + 5.75 ω j + 2.5 + K g ∗ ω j + 3 K g ∗ = ( ω 4 − 6.25 ω 2 + 2.5 + 3 K g ∗ ) + ( K g ∗ ω + 5.75 ω − 4 ω 3 ) j = 0 D(j\omega)=\omega^4-4\omega^3j-6.25\omega^2+5.75\omega j+2.5+K_{g}^*\omega j+3K_{g}^*=(\omega^4-6.25\omega^2+2.5+3K_{g}^*)+(K_{g}^*\omega+5.75\omega-4\omega^3)j=0 D(jω)=ω4−4ω3j−6.25ω2+5.75ωj+2.5+Kg∗​ωj+3Kg∗​=(ω4−6.25ω2+2.5+3Kg∗​)+(Kg∗​ω+5.75ω−4ω3)j=0 所以 { ω 4 − 6.25 ω 2 + 2.5 + 3 K g ∗ = 0 K g ∗ ω + 5.75 ω − 4 ω 3 = 0 \left\{ \begin{array}{c} \omega^4-6.25\omega^2+2.5+3K_{g}^*=0 \\ K_{g}^*\omega+5.75\omega-4\omega^3=0 \\ \end{array} \right. {ω4−6.25ω2+2.5+3Kg∗​=0Kg∗​ω+5.75ω−4ω3=0​解得 K g ∗ = 1.9398 或 − 36.44 （舍）， ω = 1.3865 K_{g}^*=1.9398或-36.44（舍），\omega=1.3865 Kg∗​=1.9398或−36.44（舍），ω=1.3865 所以绘制图如下： 用matlab进行绘图：

附：分离点计算的matlab程序：

零度根轨迹的绘制法则与180度根轨迹类似，只是需要对个别位置进行更改，具体如下： （1）渐近线交角：在0°根轨迹中， ϕ a = 2 k π n − m \phi_a=\frac{2k\pi}{n-m} ϕa​=n−m2kπ​. （2）实轴分布：在0°根轨迹中，实轴某一区域若其右侧零极点个数之和为偶数个，则该区域为根轨迹区域。 （3）起始角和终止角：在0°根轨迹中，要把180°根轨迹起始角终止角公式中的 ( 2 k + 1 ) π (2k+1)\pi (2k+1)π变为 2 k π 2k\pi 2kπ

例： W ( s ) = K g ∗ ( s + 3 ) ( s + 2 ) ( 1 − s ) W(s)=\frac{K_{g}^*(s+3)}{(s+2)(1-s)} W(s)=(s+2)(1−s)Kg∗​(s+3)​ PS：可对比1.3节中的180°根轨迹

广义根轨迹是指参量不是放大系数的时候，需要做一定变形，将变化参量转化到以前“放大系数”的“位置”，得到等效开环传递函数，从而绘制根轨迹。

比如单位负反馈 W ( s ) = 2 ( s + 3 ) ( a s + 1 ) ( s + 2 ) W(s)=\frac{2(s+3)}{(as+1)(s+2)} W(s)=(as+1)(s+2)2(s+3)​绘制 a a a变化时根轨迹

显然，特征方程： D ( s ) = a s ( s + 2 ) + 3 s + 8 = 0 D(s)=as(s+2)+3s+8=0 D(s)=as(s+2)+3s+8=0变形得： 1 + a s ( s + 2 ) 3 s + 8 = 0 1+\frac{as(s+2)}{3s+8}=0 1+3s+8as(s+2)​=0 所以 W e q ( s ) = a s ( s + 2 ) 3 s + 8 W_{eq}(s)=\frac{as(s+2)}{3s+8} Weq​(s)=3s+8as(s+2)​ 绘制根轨迹如图：