自控原理

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自控原理

2024-04-08 10:00| 来源: 网络整理| 查看: 265

一、系统动态性能指标计算公式

二、利用根轨迹分析系统动态性能

（一）、绘制系统根轨迹

1.根轨迹方程

2.根轨迹绘制步骤

3.根轨迹绘制法则

4.MATLAB绘制根轨迹

（二）、根据闭环根轨迹分析系统性能

一、系统动态性能指标计算公式动态性能指标计算公式系统类型系统闭环传递函数单位阶跃响应性能指标计算公式一阶系统

$\phi (s)=\frac{K}{Ts+1}$

$h(t)=1-e^{-t/T}$

T:系统时间常数

$t_s=3T$ 过阻尼二阶系统

$\phi(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi \omega_ns+\omega_n^2}$

$w{_{n}}$ :无阻尼自然频率

$\xi$ ：阻尼比

$\lambda_1=-\xi\omega_n+\sqrt{\xi^2-1}\omega_n=-1/T_1$

$\lambda_2=-\xi\omega_n-\sqrt{\xi^2-1}\omega_n=-1/T_2$

$\omega_n = 1/\sqrt{T_1T_2}$

$\xi = \frac{1}{2}\frac{1+T_1/T_2}{\sqrt{T_1/T_2}}$

$h(t)=1+\frac{1}{T_2/T_1-1}e^{-\frac{1}{T_1}t}+\frac{1}{T_1/T_2-1}e^{-\frac{1}{T_2}t}$

查图法：见图1，已知 $\frac{T_1}{T_2}$ ，查找图1得到： $t_s/T_1=x$ ，由此可知， $t_s=x*T_1$ 欠阻尼二阶系统 $h(t)=1-\frac{e^{-\xi\omega_nt}}{\sqrt{1-\xi^2}}sin(\sqrt{1-\xi^2}\omega_nt+\beta)$ $t_p=\frac{\pi}{\sqrt{1-\xi^2}\omega_n}$ $\sigma\%=e^{-\xi\pi/\sqrt{1-\xi^2}}$ $t_s=\frac{3.5}{\xi\omega_n}$

注：ts均表示进入5%误差带。

图1：过阻尼系统，T1/T2与ts/T1的关系曲线

二、利用根轨迹分析系统动态性能

针对此控制结构：

（一）、绘制系统根轨迹 1.根轨迹方程

1+KG(s)H(s)=0-->KG(s)H(s)=-1

模值条件：|KG(s)H(s)|=1(闭环极点到所有开环零点距离之积/闭环极点到所有开环极点距离之积)

相角条件：

$\angle G(s)H(s)= \sum_{j=1}^{m}\angle (s-z_j)- \sum_{i=1}^{n}\angle (s-p_i)=(2k+1)\pi k=0,1...(n-m-1/m-n-1)$

（n-m-1/m-n-1）取决于系统分母阶次和分子阶次那个高。

2.根轨迹绘制步骤

（1）开环传递函数零极点确定：

a.求解根轨迹增益K从0 $\rightarrow \infty$ 的闭环根的变化：直接在复平面绘制 $G(s)H(s)$ 的开环传递函数的零极点；

b.求解除K以外的参数从0 $\rightarrow \infty$ 的闭环根的变化：首先需要根据开环传递函数，写出标准特征方程1+GH=0；其次，构造等效开环传递函数，含变参的放分子，不含变参的放在分母；若此时分子阶次高于分母阶次，则将变参取倒数。

举个栗子1：

单位反馈系统的传递函数为 $G(s)=\frac{615(s+16)}{s^2(Ts+1)},T=0\rightarrow \infty$ ，绘制根轨迹。

写出标准特征方程， $Ts^3+s^2+615s+15990=0$

$\Rightarrow s^3+\frac{1}{T}(s^2+615s+15990)=0$

$\Rightarrow 1+\frac{\frac{1}{T}(s^615s+15990)}{s^3}$

$\Rightarrow G^*(s)=\frac{\frac{1}{T}(s^2+615s+15990)}{s^3}$

将问题从 $T=0\rightarrow \infty$ 转化为 $\frac{1}{T}=0\rightarrow \infty$ ，此时根轨迹方向刚好相反。

（2）根据开环零极点，根轨迹绘制法则，绘制闭环根轨迹。

3.根轨迹绘制法则

1.根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环极点个数n>开环零点个数m，则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。

2.根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数=系统阶次（一般分子阶数比分母阶数高，即一般情况下等于极点个数），根轨迹连续且对称于实轴。

3.实轴上的根轨迹：从实轴最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、极点到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。

4.闭环根之和： $\sum_{i=1}^{n}\lambda _i = C(n-m\geq 2)$ ： $n-m\geq2$ 时，闭环根之和保持一个常值。推论-- $n-m\geq2$ 时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为0。（可以粗略判断分离点的位置）

定理：若系统有2个开环极点，1个开环零点，且复平面存在根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以零点为圆心的圆弧。

5.渐近线：与实轴交点： $\sigma_a=\frac{\sum_{i=1}^{n}p_i-\sum_{i=1}^{n}z_i}{n-m}$

渐进线与实轴夹角： $\varphi _a=\frac{(2k+1)\pi}{n-m}$ k=0,1…n-m-1（m-n-1）

n>m时，n-m条根轨迹趋于无穷远处。

6.分离点d: $d=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{d-p_i}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{d-z_i}$ (对应实轴上重根)

多项式重根的充要条件：

7.与虚轴交点：a,系统临界稳定点；b,s=jw是根轨迹方程的根；

$Re[D(jw)]=0$

$Im[D(jw)]=0$

8.出射角/入射角（起始角/终止角）： $\sum_{j=1}^{m}\angle (s-z_j)-\sum_{n=1}^{m}\angle (s-p_i)=(2k+1)\pi$ (相角条件)

4.MATLAB绘制根轨迹 num=[num1,num2,num3,…]; %开环传函分子多项式系数 den=[den1,den2,den3,den4,…]; %开环传函分母多项式系数 sys=tf(num,den); %系统传递函数模型 rlocus(sys); %绘制系统的根轨迹图 rlocfind(sys); %寻找根轨迹上特殊点的值 poles=rlocfind(sys,20) %当2根轨迹增益=20时根轨迹闭环特征根 k=rlocfind(sys,1.56i) %根轨迹闭环特征根=1.56i时，对应根轨迹增益（二）、根据闭环根轨迹分析系统性能

绘制栗子1 $\Rightarrow G^*(s)=\frac{\frac{1}{T}(s^2+615s+15990)}{s^3}$ 的根轨迹如图：

由根轨迹结合系统动态性能分析，可大致判断，当根轨迹增益1/T>2410即T，过阻尼系统单调稳定，无超调量；

当根轨迹增益2410>1/T＞25.4即0.000415

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