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组合数学是数学的一个分支，主要研究有限集合中元素的排列、组合及各种计数问题。在卢开澄的第三版《组合数学》中，我们可以通过习题来深入理解和掌握相关概念。
1. 排列与组合是组合数学的基础概念。排列指的是从n个不同元素中取出m个元素的所有可能顺序，而组合则是只考虑元素的选择，不考虑顺序。例如，1.2题中，5个女生和7个男生的排列问题，通过乘法规则计算出不同排列的总数。
2. 对于特殊条件的排列问题，如1.1题中，找一双数{a, b}满足特定关系，需要运用等式的性质进行分析。1.2题(b)中，女生两两不相邻的问题，可以采用插空法，先排列男生，再将女生插入空隙中。
3. 组合计数问题通常涉及组合恒等式和组合选择。例如1.6题中的计算，涉及到组合数的性质和展开。此外，1.7题中证明某个数能被2n整除，可能需要用到数论中的因数分解。
4. 公因数与整除性质是数论的一部分，1.8题求两个数的公因数，可以使用辗转相除法或分解质因数。1.9题证明n²的正除数数目是奇数，可能需要用到除数的对称性。
5. 在计数问题中，有时需要使用分类和分步计数原理，如1.3题中的男生不相邻、女生形成整体以及男生A和女生B相邻的情况，通过乘法原理和组合计数得到解答。
6. 1.10题涉及到整数的唯一表示定理，即每个正整数可以唯一地表示为素数的乘积。证明通常采用反证法，假设存在非唯一的表示，引出矛盾。
以上是组合数学的一些基本概念和应用，通过卢开澄的习题，我们可以深入学习和练习这些理论，并提高解决实际问题的能力。在学习过程中，理解并熟练运用这些方法对于解决更复杂的计数问题至关重要。
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