算法之组合数学及其算法篇(二）

鸽巢原理又称抽屉原理或鞋盒原理，这个原理最早是由狄利克雷（Dirichlet）提出的。鸽巢原理是解决组合论中一些存在性问题的基本而又有力的工具。它是组合数学中最简单也是最基本的原理，从这个显而易见的原理出发，可以导出许多并非显而易见的有趣结果，而这些结果常常是令人惊奇的。特别是Ramsey理论产生了重要而深远的影响。1928年，年仅24岁的英国杰出数学家F. P. Ramsey发表了著名论文《论形式逻辑中的一个问题》，他在这篇论文中，提出并证明了关于集合论的一个重大研究成果，现已公认为Ramsey定理。他开拓的这一新领域至今在理论上仍十分活跃，而且近年来在科学技术领域获得了成功的应用。

鸽巢原理对于我们在解题的时候对解法存在性和正确性的一种强有力的方法。

定理 若有n+1只鸽子飞回n个鸽巢，则至少有一个鸽巢里有不少于两只鸽子。 我们还可以这么描述，若由n+1个东西放入n个盒子中，则至少有一个盒子有不少于两个物品。 证明：(反证法)假设n个鸽巢中，每个鸽巢里至多有一只鸽子，则鸽子的总数至多为n，但是有n+1只鸽子，矛盾。 [说明]：(1)定理的条件?结论?实质上指出了一种必然性。 (2)鸽巢原理的等价原理：若有n+1个物件放入n个盒子，则至少有一个盒子里有不少于两个的物件。 (3)鸽巢原理的应用关键是： “认准鸽子”、“构筑鸽巢”。

从整数1，2，…，100中任选51个整数，证明在选取的这些整数中必存在两个整数，其中之一可被另一个整除。

证明： 对于1到100之间的任何整数，都可以表示为 2 n . α 2^n.α 2n.α的形式，其中n≥0，且α为50个奇数1，3，…，99之中的数。故在所任选的51个整数中，至少有两个整数含有相同的奇数因子α，令这两个整数为 2 r ⋅ α 和 2 s ⋅ α ， 不 妨 r > s ， 则 2 s ⋅ α 能 被 2 r ⋅ α 整 除 2^r·α和2^s·α，不妨r>s，则2^s·α能被2^r·α整除 2r⋅α和2s⋅α，不妨r>s，则2s⋅α能被2r⋅α整除。

有 9 个 任 给 定 的 整 数 a 1 , a 2 , ⋯ , a 9 , 试 证 明 必 存 在 两 个 整 数 k 和 l ( 0 ≤ k ≤ l ≤ 9 ) ， 使 得 a k + 1 + a k + 2 + . . . + a l 能 被 9 整 除 有9个任给定的整数 a_1,a_2,⋯,a_9, 试证明必存在两个整数k和l(0≤k ≤l≤9)，使得 a_{k+1}+a_{k+2}+...+a_l 能被9整除 有9个任给定的整数a1​,a2​,⋯,a9​,试证明必存在两个整数k和l(0≤k≤l≤9)，使得ak+1​+ak+2​+...+al​能被9整除。

证明： 首先，如果某个 a i ( 1 ≤ i ≤ 9 ) a_i(1≤i≤9) ai​(1≤i≤9) 能被9整除，取k=l=i、得证。 否则，由9个整数可得到9个连续的和式： a 1 , a 1 + a 2 , a 1 + a 2 + a 3 , . . . . , a 1 + a 2 + ⋯ + a 9 a1,a1+a2,a1+a2+a3,....,a1+a2+⋯+a9 a1,a1+a2,a1+a2+a3,....,a1+a2+⋯+a9。 如果某个 a 1 + a 2 + ⋯ + a i ( 1 < i ≤ 9 ) a1+a2+⋯+ai(1