「初中数学」线段上中点（或分点）、动点问题的常见题型

　　七年级刚刚接触的线段上点的计算问题，是几何部分的基础知识，由于初接触，很多同学找不到规律，导致不会解或者漏解的情况时有发生，下面结合例题一一说明

　　一.与线段中点有关的计算题

　　1.已知A、B、C三点在一条直线上，若线段AB=20㎝，线段BC=8㎝，M、N分别是线段AB，BC的中点.

　　(1)求线段MN的长;

　　(2)根据(1)中的计算过程和结果，设AB=a，BC=b，且a>b，其他条件不变，求MN的长度(直接写出结果)

　　【分析】(1)读题之后，确定不了点C在AB上还是AB外，所以需分类讨论.(2)通过(1)的计算推测结果或用字母a、b推导得结果

　　解:(1)分两种情况.

　　①当点C在线段AB上时，如图①所示

　　因为M为AB的中点，所以MB=AB×1/2=20×1/2=10(㎝).因为N为BC的中点，所以BN=BC×1/2=8×1/2=4(㎝)，所以MN=MB一BN=10一4=6(㎝).

　　②当点C在线段AB的延长线上时，如图②

　　因为M为AB的中点，所以MB=AB×1/2=20×1/2=10(㎝)，因为N为BC的中点，所以BN=BC×1/2=8×1/2=4(㎝)，所以MN=MB+BN=10+4=14(㎝).

　　综上所述，线段MN的长为6㎝或14㎝.

　　(2)MN=1/2(a+b)或MN=1/2(a一b).

　　二.与线段中点有关的说明题

　　2.如图，点C在线段AB上，AC=8㎝，CB=6㎝，点M，N分别是AC，BC的中点.

　　(1)求线段MN的长.

　　(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB=a㎝，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？说明理由.

　　(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC一CB=b㎝，M，N分别是AC，BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由.

　　解:(1)因为点M，N分别是AC，BC的中点，所以MC=AC×1/2=8×1/2=4(㎝)，NC=BC×1/2=6×1/2=3(㎝).所以MN=MC+NC=4十3=7(㎝).

　　(2)MN=a/2(㎝).理由如下:因为M，N分别是AC，BC的中点，所以MC=AC/2，NC=BC/2，所以MN=MC+NC=AC/2十BC/2=(AC+BC)/2=a/2(㎝).

　　(3)如图.MN=b/2(㎝).理由如下:

　　因为点M，N分别是AC，BC的中点，所以MC=AC/2，NC=BC/2，所以MN=MC一NC=AC/2一BC/2=(AC一BC)/2=b/2(㎝).

　　三.与线段中点有关的操作题

　　3.(1)如图，已知点C在线段AB上，线段AB=12，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度;

　　(2)把(1)中的"点C在线段AB上”改为"点C在线段AB的延长线上”，其他条件均不变，画图并求线段MN的长度;

　　(3)已知线段AB，点C为直线AB外任意一点，点M，N分别是AC，BC的中点，连接MN，画图猜想线段MN与线段AB的数量关(只要求画图，写出结论).

　　解:(1)因为点M，N分别是AC，BC的中点，所以MC=AC/2，NC=BC/2，所以MN=MC十NC=AC/2十BC/2=AB/2=12×1/2=6.

　　(2)如答图

　　MN=MC一NC=AC/2一BC/2=AB/2=12×1/2=6.

　　(3)如答图

　　通过度量可得MN=AB/2.

　　四.与线段分点有关的计算

　　4.如图，B，C两点把线段AD分成2:4:3三部分，M是AD的中点，CD=6㎝，求线段MC的长.

　　【分析】由于线段AD分为2:4:3三部分，CD=6㎝，所以可设参数，求出一份数是多少，再求出总份数AD，即可求MD=AD/2，从而MC=MD一CD可解出.

　　解:设AB=2K㎝，则BC=4K㎝，CD=3K㎝.所以AD=2K十4K+3K=9K(㎝)，因为CD=6㎝，即3K=6，所以K=2，则AD=18㎝，又因为M是AD的中点，所以MD=AD/2=18×1/2=9(㎝).所以MC=MD一CD=9一6=3(㎝).

　　五.线段分点与方程的结合

　　5.A，B两点在数轴上的位置如图，O为原点，现A，B两点分别以1个单位长度/s，4个单位长度/s的速度同时向左运动.

　　(1)几秒后，原点恰好在两点正中间？

　　(2)几秒后，恰好有OA:OB=1:2？

　　【分析】(1)依据基本的行程问题数量关系列方程求解.②由于B点运动速度大于A点运动速度，所以可分相遇前与相遇后，两种情况分类讨论.

　　解:(1)设运动时间为xs，依题意得

　　x+3=12一4x

　　解得x=1.8

　　答:1.8s后原点恰好在两点正中间.

　　(2)设运动时间为ts.

　　①B与A相遇前:12一4t=2(t+3)，解得t=1

　　②B与A相遇后:4t一12=2(t+3)，解得t=9

　　答:1s或9s后，恰好有OA:OB=1:2.

　　六线段上动点与中点的分类问题

　　6.(1)如图①，D是AB上任意一点，M，N分别是AD，DB的中点，若AB=16，求MN的长;

　　(2)如图②，AB=16，点D是线段AB上一动点，M，N分别是AD，DB的中点，能否求出线段MN的长？若能，求出其长，若不能，试说明理由;

　　(3)如图③，AB=16，点D运动到线段AB的延长线上，其他条件不变，能否求出线段MN的长？若能，求出其长，若不能，试说明理由.

　　(4)你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？

　　解:(1)MN=DM+DN=AD/2+BD/2=(AD+BD)/2=AB/2=16×1/2=8.

　　(2)能.MN=DM+DN=AD/2+BD/2=(AD+BD)/2=AB/2=16×1/2=8.

　　(3)能.MN=MD一DN=AD/2一BD/2=(AD一BD)/2=AB/2=16×1/2=8.

　　(4)MN的长始终不变.

　　七.线段上动点问题的分类问题

　　7.如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为一2和8.

　　(1)求线段AB的长.

　　(2)若P为射线BA上一点(点P不与A，B两点重合)，M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线BA上运动时，MN的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长;若改变，请说明理由.

　　解:(1)因为A，B两点所表示的数分别为一2和8，所以OA=2，OB=8，所以AB=OA+OB=2十8=10.

　　(2)①当点P在A，B两点之间时，如图甲，MN=MP十NP=AP/2十BP/2=AB/2=5.

　　②当点P在点A左侧时，如图乙，MN=NP一MP=BP/2一AP/2=AB/2=5.

　　综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5.

　　八.线段和差倍分关系中的动点问题

　　8.如图，线段AB=24，动点P从A出发，以2个单位长度/s的速度沿射线AB运动，M为AP的中点.

　　(1)出发多少秒后，PB=2AM？

　　(2)当P在线段AB上运动时，试说明2BM一BP为定值.

　　(3)当P在线段AB的延长线上运动时，N为BP的中点，下面两个结论:①MN长度不变;②MA+PN的值不变.选择正确的结论，并求出其值.

　　解:(1)设出发ts后，PB=2AM，则PA=2t，PB=24一2t，AM=t，所以24一2t=2t，解得t=6，即出发6s后，PB=2AM.

　　(2)设运动时间为xs，由题意知BM=24一x，PB=24一2x，所以2BM一BP=2(24一x)一(24一2x)=24，即2BM一BP为定值.

　　(3)设运动时间为ys，因为PA=2y，AM=PM=y，PB=2y一24，PN=PB/2=y一12，所以①MN=PM一PN=y一(y一12)=12，即MN的长度不变，为定值;②MA+PN=y+y一12=2y一12，所以MA+PN的值是变化的，综上所述，①正确，且MN的长度为12.

　　【总结】线段上的动点问题，注意找准点的各种可能的位置，通常设未知数，表示出移动变化后的线段的长(有可能是常数，那就是定值)，再由题意列方程求解.

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