线性代数学习笔记（二十五）

本篇笔记首介绍了矩阵的行秩和列秩，即矩阵的行秩等于矩阵的列秩等于矩阵的秩，而且矩阵乘积的秩不大于每个因子的秩；还介绍了求矩阵行秩和列秩的方法，即化为阶梯形矩阵；最后重点介绍了极大线性无关组的求法，根据矩阵的初等行（列）变换不改变其列（行）向量间的线性关系，将矩阵化为行简化阶梯形，然后直接写出极大线性无关组和其向量的线性表示。

举例：矩阵 A = [ 1 1 1 1 1 3 0 2 1 1 5 6 9 1 0 0 1 1 ] A=\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&3\\0&2&1&1&5&6\\9&1&0&0&1&1\end{bmatrix} A= ​109​121​110​110​151​361​ ​，

取出所有的行形成行向量， α 1 = ( 1 1 1 1 1 3 ) \alpha_1=\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&3\end{pmatrix} α1​=(1​1​1​1​1​3​)， α 2 = ( 0 2 1 1 5 6 ) \alpha_2=\begin{pmatrix}0&2&1&1&5&6\end{pmatrix} α2​=(0​2​1​1​5​6​)， α 3 = ( 9 1 0 0 1 1 ) \alpha_3=\begin{pmatrix}9&1&0&0&1&1\end{pmatrix} α3​=(9​1​0​0​1​1​)，

全体 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1​,α2​,α3​称为矩阵 A A A的行向量组。

取出所有的列形成列向量， β 1 = ( 1 0 9 ) , β 2 = ( 1 2 1 ) , β 3 = ( 1 1 0 ) \beta_1=\begin{pmatrix}1\\0\\9\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},\beta_3=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} β1​= ​109​ ​,β2​= ​121​ ​,β3​= ​110​ ​，

β 4 = ( 1 1 0 ) , β 5 = ( 1 5 1 ) , β 6 = ( 3 6 1 ) \beta_4=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\beta_5=\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix},\beta_6=\begin{pmatrix}3\\6\\1\end{pmatrix} β4​= ​110​ ​,β5​= ​151​ ​,β6​= ​361​ ​，

全体 β 1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 , β 6 \beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4,\beta_5,\beta_6 β1​,β2​,β3​,β4​,β5​,β6​称为矩阵 A A A的列向量组。

定义：矩阵 行向量组的秩 ‾ \underline{行向量组的秩} 行向量组的秩​称为矩阵的行秩，矩阵 列向量组的秩 ‾ \underline{列向量组的秩} 列向量组的秩​称为矩阵的列秩。

上述例子中，行向量有 3 3 3个，行向量组的秩最大为 3 3 3；而列向量有 6 6 6个，列向量组的秩最大为 6 6 6。那么矩阵的行秩和列秩会不会不一样呢？ 答案是否定的。 因为列向量虽然有 6 6 6个，但它是 3 3 3维的，所以秩最大也是 3 3 3。 那么矩阵的行秩和列秩是否相等呢？

定理3.3.4：对任何矩阵 A A A，均有： A 的行秩 = A 的列秩 = r ( A ) \color{red}{A的行秩=A的列秩=r(A)} A的行秩=A的列秩=r(A)。

矩阵的秩是用非零子式定义的，而向量组的秩是用极大无关组定义的，定义方式完全不同，但最终竟然相等！

举例：矩阵 A = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] A=\begin{bmatrix}\color{red}{1}&\color{red}{0}&0&0\\\color{red}{0}&\color{red}{1}&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix} A= ​1000​0100​0000​0000​ ​， 其最高阶数的非0子式为 [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} [10​01​]， 所以 r ( A ) = 2 r(A)=2 r(A)=2；

很明显要找它的行秩或列秩，那么就先找到其极大无关组，如 使用 β 1 = ( 1 0 0 0 ) , β 2 = ( 0 1 0 0 ) \beta_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} β1​= ​1000​ ​,β2​= ​0100​ ​可以表示所有的列向量，如

β 1 = 1 × β 1 + 0 × β 2 + 0 × β 3 + 0 × β 4 \beta_1=1\times\beta_1+0\times\beta_2+0\times\beta_3+0\times\beta_4 β1​=1×β1​+0×β2​+0×β3​+0×β4​， β 2 = 0 × β 1 + 1 × β 2 + 0 × β 3 + 0 × β 4 \beta_2=0\times\beta_1+1\times\beta_2+0\times\beta_3+0\times\beta_4 β2​=0×β1​+1×β2​+0×β3​+0×β4​， β 3 = 0 × β 1 + 0 × β 2 + 0 × β 3 + 0 × β 4 \beta_3=0\times\beta_1+0\times\beta_2+0\times\beta_3+0\times\beta_4 β3​=0×β1​+0×β2​+0×β3​+0×β4​， β 4 = 0 × β 1 + 0 × β 2 + 0 × β 3 + 0 × β 4 \beta_4=0\times\beta_1+0\times\beta_2+0\times\beta_3+0\times\beta_4 β4​=0×β1​+0×β2​+0×β3​+0×β4​，

可以看出，这两列是“最重要”且不可缺少的，用这两列就可以表示其他所有的列， 而这两个列向量 β 1 , β 2 \beta_1,\beta_2 β1​,β2​就是矩阵 A A A列向量组 β 1 , β 3 , β 1 , β 4 \beta_1,\beta_3,\beta_1,\beta_4 β1​,β3​,β1​,β4​的极大无关组， 所以 r ( β 1 , β 3 , β 1 , β 4 ) = 2 r(\beta_1,\beta_3,\beta_1,\beta_4)=2 r(β1​,β3​,β1​,β4​)=2， 即矩阵 A 的列秩为 2 A的列秩为2 A的列秩为2， 故 A 的列秩 = r ( A ) A的列秩=r(A) A的列秩=r(A)，

同理可得， A 的行秩 = r ( A ) A的行秩=r(A) A的行秩=r(A)， 故 A 的行秩 = A 的列秩 = r ( A ) A的行秩=A的列秩=r(A) A的行秩=A的列秩=r(A)。

定理3.3.5：（考研用的多）矩阵乘积的秩不大于每个因子的秩。

即： r ( A B ) ≤ m i n { r ( A ) , r ( B ) } \color{red}{r(AB){\le}min\{r(A),r(B)\}} r(AB)≤min{r(A),r(B)}， 显然，可以推广到有限个矩阵相乘的情形上去： r ( A 1 A 2 . . . A n ) ≤ m i n 1 ≤ i ≤ n r ( A i ) \color{red}{r(A_1A_2...A_n){\le}\underset{1{\le}i{\le}n}{min}r(A_i)} r(A1​A2​...An​)≤1≤i≤nmin​r(Ai​)。

例1：求矩阵 A = [ 3 3 3 2 − 1 5 − 5 3 − 13 4 − 3 11 ] A=\begin{bmatrix}3&3&3\\2&-1&5\\-5&3&-13\\4&-3&11\end{bmatrix} A= ​32−54​3−13−3​35−1311​ ​的行秩和列秩。 解：使用初等行变换化为阶梯形， A = [ 3 3 3 2 − 1 5 − 5 3 − 13 4 − 3 11 ] → 初等行变换 [ 1 1 1 0 − 3 3 0 0 0 0 0 0 ] A=\begin{bmatrix}3&3&3\\2&-1&5\\-5&3&-13\\4&-3&11\end{bmatrix}\xrightarrow[]{初等行变换}\begin{bmatrix}1&1&1\\0&-3&3\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} A= ​32−54​3−13−3​35−1311​ ​初等行变换 ​ ​1000​1−300​1300​ ​， 由此可见 r ( A ) = 2 r(A)=2 r(A)=2，所以矩阵 A A A的行秩和列秩都是 2 2 2。

例2：求向量组 α 1 = ( 1 , − 2 , 2 , − 1 ) , α 2 = ( 2 , − 4 , 8 , 0 ) , α 3 = ( − 2 , 4 , − 2 , 3 ) , α 4 = ( 3 , − 6 , 0 , − 6 ) \alpha_1=(1,-2,2,-1),\alpha_2=(2,-4,8,0),\alpha_3=(-2,4,-2,3),\alpha_4=(3,-6,0,-6) α1​=(1,−2,2,−1),α2​=(2,−4,8,0),α3​=(−2,4,−2,3),α4​=(3,−6,0,−6)的秩，并判断是否线性相关。 解：以 α 1 T , α 2 T , α 3 T , α 4 T \alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_3^T,\alpha_4^T α1T​,α2T​,α3T​,α4T​为列向量构成矩阵 A A A，并将矩阵 A A A实施初等行变换，化为阶梯形矩阵， A = [ 1 2 − 2 3 − 2 − 4 4 − 6 2 8 − 2 0 − 1 0 3 − 6 ] → 初等行变换 [ 1 2 − 2 3 0 2 1 − 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ] A=\begin{bmatrix}1&2&-2&3\\-2&-4&4&-6\\2&8&-2&0\\-1&0&3&-6\end{bmatrix}\xrightarrow[]{初等行变换}\begin{bmatrix}1&2&-2&3\\0&2&1&-3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix} A= ​1−22−1​2−480​−24−23​3−60−6​ ​初等行变换 ​ ​1000​2200​−2100​3−300​ ​ 显然， r ( A ) = 2 r(A)=2 r(A)=2，所以 r ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = 2 < 4 r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=2